Упр.629 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v(x+1)-vx < v(x-1) 2) v(x+3) < v(7-x)+v(10-x)

1. $$\sqrt{x+1}-\sqrt{x}<\sqrt{x-1}$$

   Перенесём корни в одну сторону:

   $$\sqrt{x+1}<\sqrt{x-1}+\sqrt{x}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$x+1<x-1+2\sqrt{x(x-1)}$$

   $$2\sqrt{x^2-x}>2-x$$

   $$4(x^2-x)>(2-x)^2$$

   $$4x^2-4x>x^2-4x+4$$

   $$3x^2-4>0$$

   $$3x^2>4$$

   $$x<-\frac{2}{\sqrt3}\quad \text{или}\quad x>\frac{2}{\sqrt3}$$

   Область определения:

   $$x+1\ge 0,\quad x\ge 1,\quad x\ge 0$$

   Следовательно, $$x\ge 1$$.

   С учётом ОДЗ получаем:

   $$x>\frac{2}{\sqrt3}$$

2. $$\sqrt{x+3}<\sqrt{7-x}+\sqrt{10-x}$$

   Перенесём корни в одну сторону и возведём в квадрат:

   $$x+3<7-x+2\sqrt{(7-x)(10-x)}+10-x$$

   $$3x-14<2\sqrt{x^2-17x+70}$$

   Возведём в квадрат:

   $$9x^2-84x+196<4(x^2-17x+70)$$

   $$9x^2-84x+196<4x^2-68x+280$$

   $$5x^2-16x-84<0$$

   Найдём корни:

   $$D=(-16)^2-4\cdot 5\cdot(-84)=256+1680=1936$$

   $$x_{1,2}=\frac{16\pm 44}{10}$$

   $$x_1=-\frac{14}{5},\quad x_2=6$$

   Тогда

   $$-\frac{14}{5}<x<6$$

   Область определения:

   $$x+3\ge 0,\quad 7-x\ge 0,\quad 10-x\ge 0$$

   $$x\ge -3,\quad x\le 7,\quad x\le 10$$

   Значит, $$-3\le x\le 7$$.

   Пересекаем с найденным промежутком:

   $$x\in\left[-3;6\right)$$

Ответ

1) $$\left(\frac{2}{\sqrt3};+\infty\right)$$; 2) $$\left[-3;6\right)$$.