Упр.621 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) v(7(x-y))-v(x+y)=8/3*v(y/x),
v(7(x-y))-v(x+y)=9v(x/y)
2) (x^2-xy+y^2)v(x^2+y^2)=185,
(x^2+xy+y^2)v(x^2+y^2)=65

Подробный ответ

Обозначим
$$a=\sqrt{7(x-y)}, \qquad b=\sqrt{x+y}.$$
Тогда система принимает вид
$$\begin{cases} a-b=\dfrac{8}{3}\sqrt{\dfrac{y}{x}},\\ a+b=9\sqrt{\dfrac{x}{y}}. \end{cases}$$
Перемножим уравнения:
$$ 7(x-y)-(x+y)=24, $$
$$6x-8y=24,$$
$$4y=3x-12,$$
$$y=\dfrac{3}{4}x-3. $$
Вычтем первое уравнение из второго:
$$ 2\sqrt{x+y}=9\sqrt{\dfrac{x}{y}}-\dfrac{8}{3}\sqrt{\dfrac{y}{x}}. $$
После преобразований получаем:
$$ 4(x+y)=81\cdot\dfrac{x}{y}-\dfrac{144}{3}+\dfrac{64y}{9x}, $$
$$ 4x+4y=\dfrac{(27x-8y)^2}{9xy}. $$
Подставим $$y=\dfrac{3}{4}x-3$$:
$$ (7x-12)\left(\dfrac{27x}{4}-27x\right)=(21x+24)^2. $$
После упрощения:
$$ 21x^3-316x^2-304x-256=0. $$
Проверка рационального корня даёт $$x=16$$. Тогда
$$ (x-16)(21x^2+20x+16)=0. $$
Квадратный трёхчлен действительных корней не имеет, значит
$$x=16,$$
$$y=\dfrac{3}{4}\cdot 16-3=9.$$
Пусть
$$a=x^2-xy+y^2,\qquad b=x^2+xy+y^2.$$
Тогда
$$\begin{cases} a\sqrt{x^2+y^2}=185,\\ b\sqrt{x^2+y^2}=65. \end{cases}$$
Найдём отношение уравнений:
$$ \dfrac{x^2-xy+y^2}{x^2+xy+y^2}=\dfrac{185}{65}=\dfrac{37}{13}. $$
Отсюда
$$ 13(x^2-xy+y^2)=37(x^2+xy+y^2), $$
$$ 24x^2+50xy+24y^2=0, $$
$$ 12x^2+25xy+12y^2=0. $$
Рассмотрим как квадратное уравнение относительно $$x$$:
$$ D=(25y)^2-4\cdot 12\cdot 12y^2=625y^2-576y^2=49y^2. $$
Тогда
$$ x_1=\dfrac{-25y-7y}{24}=-\dfrac{4}{3}y,\qquad x_2=\dfrac{-25y+7y}{24}=-\dfrac{3}{4}y. $$
Первый случай: $$x=-\dfrac{4}{3}y$$.
Подставим в первое уравнение:
$$ \left(\dfrac{16}{9}y^2+\dfrac{4}{3}y^2+y^2\right)\sqrt{\dfrac{16}{9}y^2+y^2}=185. $$
$$ \dfrac{37y^2}{9}\cdot \sqrt{\dfrac{25y^2}{9}}=185, $$
$$ \dfrac{37y^2}{9}\cdot \dfrac{5|y|}{3}=185. $$
Получаем $$y^6=729$$, значит $$y=\pm 3$$, а тогда $$x=\mp 4$$.
Второй случай: $$x=-\dfrac{3}{4}y$$.
Подставим в первое уравнение:
$$ \left(\dfrac{9}{16}y^2+\dfrac{3}{4}y^2+y^2\right)\sqrt{\dfrac{9}{16}y^2+y^2}=185. $$
$$ \dfrac{37y^2}{16}\cdot \sqrt{\dfrac{25y^2}{16}}=185, $$
$$ \dfrac{37y^2}{16}\cdot \dfrac{5|y|}{4}=185. $$
Получаем $$y^6=4096$$, значит $$y=\pm 4$$, а тогда $$x=\mp 3$$.