Упр.620 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

620.
1) корень третьей степени из (у/х) — 2*корень третьей степени из (х/у) = 1,
v(x+y)+v(x-y+11)=5
2) v(x/y)-v(y/x)=3/2,
x+y+xy=9

Подробный ответ

Пусть $$z=\sqrt[3]{\frac{y}{x}}.$$ Тогда
$$z-\frac{2}{z}=1.$$
Умножим на $$z$$:
$$z^2-z-2=0.$$
$$D=1+8=9,$$
$$z_1=\frac{1-3}{2}=-1,\qquad z_2=\frac{1+3}{2}=2.$$
1) Если $$z=-1,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{y}{x}}=-1 \Rightarrow \frac{y}{x}=-1 \Rightarrow y=-x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y+11}=5$$
$$\sqrt{x-x}+\sqrt{x-(-x)+11}=5$$
$$\sqrt{2x+11}=5,$$
$$2x+11=25,\qquad x=7,\qquad y=-7.$$
2) Если $$z=2,$$ то
$$\sqrt[3]{\frac{y}{x}}=2 \Rightarrow \frac{y}{x}=8 \Rightarrow y=8x.$$
Подставим во второе уравнение:
$$\sqrt{x+y}+\sqrt{x-y+11}=5$$
$$\sqrt{9x}+\sqrt{11-7x}=5.$$
Возведём в квадрат:
$$9x+11-7x+2\sqrt{9x(11-7x)}=25,$$
$$2\sqrt{99x-63x^2}=14-2x,$$
$$\sqrt{99x-63x^2}=7-x.$$
Ещё раз возведём в квадрат:
$$99x-63x^2=(7-x)^2,$$
$$99x-63x^2=49-14x+x^2,$$
$$64x^2-113x+49=0.$$
$$D=113^2-4\cdot64\cdot49=225,$$
$$x_1=\frac{113-15}{128}=\frac{49}{64},\qquad x_2=\frac{113+15}{128}=1.$$
Тогда
$$y_1=8\cdot\frac{49}{64}=\frac{49}{8},\qquad y_2=8\cdot1=8.$$
Пусть $$z=\sqrt{\frac{x}{y}}.$$ Тогда
$$z-\frac{1}{z}=\frac{3}{2}.$$
Умножим на $$2z$$:
$$2z^2-3z-2=0.$$
$$D=9+16=25,$$
$$z_1=\frac{3-5}{4}=-\frac12,\qquad z_2=\frac{3+5}{4}=2.$$
Так как $$z=\sqrt{\frac{x}{y}}\ge 0,$$ подходит только $$z=2.$$ Тогда
$$\sqrt{\frac{x}{y}}=2 \Rightarrow \frac{x}{y}=4 \Rightarrow x=4y.$$
Подставим во второе уравнение:
$$x+y+xy=9$$
$$4y+y+4y^2=9,$$
$$4y^2+5y-9=0.$$
$$D=25+144=169,$$
$$y_1=\frac{-5-13}{8}=-\frac94,\qquad y_2=\frac{-5+13}{8}=1.$$
Тогда
$$x_1=4\cdot\left(-\frac94\right)=-9,\qquad x_2=4\cdot1=4.$$