Упр.618 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

618.
1) v(x+v(6x-9)) + v(x-v(6x-9))=v6
2) v(x+x(x+11)) + v(x-v(x+11))=4

1) Рассмотрим уравнение

$$\sqrt{x+\sqrt{6x-9}}+\sqrt{x-\sqrt{6x-9}}=\sqrt6.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+\sqrt{6x-9}+2\sqrt{x^2-(6x-9)}+x-\sqrt{6x-9}=6,$$

откуда

$$2\sqrt{x^2-6x+9}=6-2x.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2-6x+9}=3-x,$$

$$x^2-6x+9=(3-x)^2,$$

$$x^2-6x+9=x^2-6x+9.$$

Это тождество, значит, нужно учесть область определения:

$$6x-9\ge 0,\quad x\ge \frac32,$$

$$3-x\ge 0,\quad x\le 3.$$

Следовательно,

$$x\in\left[\frac32;3\right].$$

2) Решим уравнение

$$\sqrt{x+\sqrt{x+11}}+\sqrt{x-\sqrt{x+11}}=4.$$

Возведём обе части в квадрат:

$$x+\sqrt{x+11}+2\sqrt{x^2-(x+11)}+x-\sqrt{x+11}=16,$$

откуда

$$2\sqrt{x^2-x-11}=16-2x.$$

Тогда

$$\sqrt{x^2-x-11}=8-x,$$

$$x^2-x-11=(8-x)^2,$$

$$x^2-x-11=x^2-16x+64.$$

Получаем

$$15x=75,\quad x=5.$$

Проверим область определения:

$$x+11\ge 0,\quad x\ge -11,$$

$$8-x\ge 0,\quad x\le 8.$$

Значение $$x=5$$ подходит.

Ответ

1) $$\left[\frac32;3\right]$$; 2) $$5$$.