Упр.617 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v((2x-1)/(y+2)) + v((y+2)/(2x-1)) = 2
x+y=12
2) v(x^2+5) + v(y^2-5) = 5
x^2+y^2=13

1. Из второго уравнения выразим $$y$$:

   $$y=12-x.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\sqrt{\frac{2x-1}{14-x}}+\sqrt{\frac{14-x}{2x-1}}=2.$$

   Обозначим

   $$z=\sqrt{\frac{2x-1}{14-x}}, \quad z>0.$$

   Тогда

   $$z+\frac{1}{z}=2.$$

   Умножим на $$z$$:

   $$z^2-2z+1=0,$$

   $$\left(z-1\right)^2=0,$$

   $$z=1.$$

   Следовательно,

   $$\sqrt{\frac{2x-1}{14-x}}=1,$$

   откуда

   $$2x-1=14-x,$$

   $$3x=15,$$

   $$x=5.$$

   Тогда

   $$y=12-5=7.$$

2. Из второго уравнения выразим $$y^2$$:

   $$y^2=13-x^2.$$

   Подставим в первое уравнение:

   $$\sqrt{x^2+5}+\sqrt{13-x^2-5}=5,$$

   то есть

   $$\sqrt{x^2+5}+\sqrt{8-x^2}=5.$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2+5+8-x^2+2\sqrt{(x^2+5)(8-x^2)}=25,$$

   $$2\sqrt{(x^2+5)(8-x^2)}=12,$$

   $$\sqrt{(x^2+5)(8-x^2)}=6.$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$\left(x^2+5\right)\left(8-x^2\right)=36,$$

   $$-x^4+3x^2+40=36,$$

   $$x^4-3x^2-4=0.$$

   Положим $$t=x^2$$, тогда

   $$t^2-3t-4=0,$$

   $$\left(t-4\right)\left(t+1\right)=0.$$

   Так как $$t=x^2\ge 0$$, получаем $$t=4$$, значит

   $$x^2=4,\quad x=\pm 2.$$

   Тогда

   $$y^2=13-4=9,\quad y=\pm 3.$$

   Проверка показывает, что подходят все сочетания знаков.

Ответ

1) $$\left(5;7\right)$$

2) $$\left(-2;-3\right),\ \left(-2;3\right),\ \left(2;-3\right),\ \left(2;3\right)$$