Упр.616 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) v((x^2-2x+3)/(x^2+2x+4))+v((x^2+2x+4)/(x^2-2x+3))=5/2
2) v((3x^2+x)/(x^2-1))-v((x^2-1)/(3x^2+x))=3/2

1) Обозначим

$$y=\sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}}, \quad y>0.$$

Тогда

$$y+\frac{1}{y}=\frac{5}{2}.$$

Умножим на $$2y$$:

$$2y^2-5y+2=0.$$

$$D=25-16=9,$$

$$y_1=\frac{5-3}{4}=\frac{1}{2}, \quad y_2=\frac{5+3}{4}=2.$$

1. Если $$y=\frac{1}{2},$$ то

$$\sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}}=\frac{1}{2},$$

$$\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}=\frac{1}{4},$$

$$4x^2-8x+12=x^2+2x+4,$$

$$3x^2-10x+8=0.$$

$$D=100-96=4,$$

$$x_1=\frac{10-2}{6}=\frac{4}{3}, \quad x_2=\frac{10+2}{6}=2.$$

2. Если $$y=2,$$ то

$$\sqrt{\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}}=2,$$

$$\frac{x^2-2x+3}{x^2+2x+4}=4,$$

$$x^2-2x+3=4x^2+8x+16,$$

$$3x^2+10x+13=0.$$

$$D=100-156=-56<0,$$

значит, действительных корней нет.

Следовательно, решение первого уравнения:

$$x=\frac{4}{3}, \; 2.$$

2) Обозначим

$$y=\sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}}, \quad y>0.$$

Тогда

$$y-\frac{1}{y}=\frac{3}{2}.$$

Умножим на $$2y$$:

$$2y^2-3y-2=0.$$

$$D=9+16=25,$$

$$y_1=\frac{3-5}{4}=-\frac{1}{2}, \quad y_2=\frac{3+5}{4}=2.$$

Так как $$y>0,$$ значение $$y=-\frac{1}{2}$$ не подходит.

Остаётся

$$\sqrt{\frac{3x^2+x}{x^2-1}}=2,$$

$$\frac{3x^2+x}{x^2-1}=4,$$

$$3x^2+x=4x^2-4,$$

$$x^2-x-4=0.$$

$$D=1+16=17,$$

$$x_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{17}}{2}.$$

Проверка ОДЗ: $$x^2-1\neq 0,$$ то есть $$x\neq \pm 1.$$ Найденные корни этому условию удовлетворяют.

Ответ

1) $$\frac{4}{3}, \; 2$$

2) $$\frac{1-\sqrt{17}}{2}, \; \frac{1+\sqrt{17}}{2}$$