Упр.615 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

615.
1) v(4x+2v(3x^2+4)) =x+2
2) 3-x = v(9-v(36x^2-5x^4))
3) v(x^2+3x+12) — v(x^2+3x) = 2
4) v(x^2+5x+10) — v(x^2+5x+3) = 1

1. $$\sqrt{4x+2\sqrt{3x^2+4}}=x+2$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$4x+2\sqrt{3x^2+4}=x^2+4x+4$$
   $$2\sqrt{3x^2+4}=x^2+4$$
   $$4(3x^2+4)=x^4+8x^2+16$$
   $$12x^2+16=x^4+8x^2+16$$
   $$x^4-4x^2=0$$
   $$x^2(x^2-4)=0$$
   $$(x+2)x^2(x-2)=0$$
   $$x=-2,\;0,\;2$$

   Проверка области определения:

   $$x+2\ge 0,\qquad 3x^2+4\ge 0$$

   Все найденные значения подходят.

2. $$3-x=\sqrt{9-\sqrt{36x^2-5x^4}}$$

   Возведём обе части в квадрат:

   $$9-6x+x^2=9-\sqrt{36x^2-5x^4}$$
   $$\sqrt{36x^2-5x^4}=6x-x^2$$

   Снова возведём в квадрат:

   $$36x^2-5x^4=(6x-x^2)^2$$
   $$36x^2-5x^4=x^4-12x^3+36x^2$$
   $$6x^4-12x^3=0$$
   $$6x^3(x-2)=0$$
   $$x=0,\;2$$

   Проверка области определения:

   $$3-x\ge 0,\qquad 6x-x^2\ge 0$$
   $$0\le x\le 6$$

   Оба корня подходят.

3. $$\sqrt{x^2+3x+12}-\sqrt{x^2+3x}=2$$
   $$\sqrt{x^2+3x+12}=2+\sqrt{x^2+3x}$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2+3x+12=4+4\sqrt{x^2+3x}+x^2+3x$$
   $$8=4\sqrt{x^2+3x}$$
   $$2=\sqrt{x^2+3x}$$
   $$4=x^2+3x$$
   $$x^2+3x-4=0$$
   $$D=3^2+4\cdot 4=25$$
   $$x_1=\frac{-3-5}{2}=-4,\qquad x_2=\frac{-3+5}{2}=1$$

   Оба значения удовлетворяют уравнению.

4. $$\sqrt{x^2+5x+10}-\sqrt{x^2+5x+3}=1$$
   $$\sqrt{x^2+5x+10}=\sqrt{x^2+5x+3}+1$$

   Возведём в квадрат:

   $$x^2+5x+10=x^2+5x+3+2\sqrt{x^2+5x+3}+1$$
   $$6=2\sqrt{x^2+5x+3}$$
   $$3=\sqrt{x^2+5x+3}$$
   $$9=x^2+5x+3$$
   $$x^2+5x-6=0$$
   $$D=5^2+4\cdot 6=49$$
   $$x_1=\frac{-5-7}{2}=-6,\qquad x_2=\frac{-5+7}{2}=1$$

   Проверка показывает, что оба корня подходят.

Ответ

1) $$-2,\;0,\;2$$; 2) $$0,\;2$$; 3) $$-4,\;1$$; 4) $$-6,\;1$$.