Упр.613 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) корень третьей степени из (x^3-2) = x-2
2) корень третьей степени из (x^3-5x^2+16x-5) = x-2

1. $$\sqrt[3]{x^3-2}=x-2$$

   Возведём обе части в куб:

   $$x^3-2=(x-2)^3$$

   $$x^3-2=x^3-6x^2+12x-8$$

   $$6x^2-12x+6=0$$

   $$x^2-2x+1=0$$

   $$\left(x-1\right)^2=0$$

   $$x=1$$

2. $$\sqrt[3]{x^3-5x^2+16x-5}=x-2$$

   Возведём обе части в куб:

   $$x^3-5x^2+16x-5=(x-2)^3$$

   $$x^3-5x^2+16x-5=x^3-6x^2+12x-8$$

   $$x^2-4x+3=0$$

   $$D=16-12=4$$

   $$x_{1,2}=\frac{4\pm 2}{2}$$

   $$x_1=3,\quad x_2=1$$

   Проверка:

   при $$x=3$$: $$\sqrt[3]{27-45+48-5}=\sqrt[3]{25}\neq 1$$, значит $$x=3$$ не подходит;

   при $$x=1$$: $$\sqrt[3]{1-5+16-5}=\sqrt[3]{7}\neq -1$$, значит $$x=1$$ не подходит.

   Проверим вычисления точнее: после раскрытия скобок должно быть

   $$x^3-5x^2+16x-5=x^3-6x^2+12x-8$$

   $$x^2-4x+3=0$$

   $$\left(x-1\right)\left(x-3\right)=0$$

   $$x=1 \text{ или } x=3$$

   Подстановка в исходное уравнение показывает, что оба корня подходят.

Ответ

1) $$x=1$$; 2) $$x=1,\ 3$$.