Упр.610 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) v(5-x) — v(5+x) = 2
2) v(12+x) — v(1-x) = 1
3) v(x-2) +v(x+6) = 0
4) v(x+7)+v(x-2) =9

Подробный ответ

$$\sqrt{5-x}-\sqrt{5+x}=2$$

Перенесём один корень:
$$\sqrt{5-x}=2+\sqrt{5+x}$$
Возведём в квадрат:
$$ 5-x=4+4\sqrt{5+x}+5+x $$
$$ 4\sqrt{5+x}=-4-2x $$
$$ 2\sqrt{5+x}=-2-x $$
Снова возведём в квадрат:
$$ 4(5+x)=(2+x)^2 $$
$$ 20+4x=x^2+4x+4 $$
$$ x^2=16 $$
$$x=\pm 4$$
Проверим область допустимых значений:
$$ 5-x\ge 0,\quad 5+x\ge 0,\quad -2-x\ge 0 $$
Отсюда $$x\le 5,\ x\ge -5,\ x\le -2,$$ значит подходит только $$x=-4.$$
$$\sqrt{12+x}-\sqrt{1-x}=1$$

Перенесём второй корень:
$$\sqrt{12+x}=1+\sqrt{1-x}$$
Возведём в квадрат:
$$ 12+x=1+2\sqrt{1-x}+1-x $$
$$ 2\sqrt{1-x}=10+2x $$
$$ \sqrt{1-x}=5+x $$
Снова возведём в квадрат:
$$ 1-x=(5+x)^2 $$
$$ 1-x=25+10x+x^2 $$
$$ x^2+11x+24=0 $$
$$ (x+3)(x+8)=0 $$
$$ x=-3 \text{ или } x=-8 $$
Проверка области допустимых значений:
$$ 12+x\ge 0,\quad 1-x\ge 0,\quad 5+x\ge 0 $$
Получаем $$x\ge -5,$$ значит подходит только $$x=-3.$$
$$\sqrt{x-2}+\sqrt{x+6}=0$$

Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю только тогда, когда каждое из них равно нулю:
$$ \sqrt{x-2}=0,\quad \sqrt{x+6}=0 $$
Тогда
$$ x=2,\quad x=-6 $$
Одновременно это невозможно, значит корней нет.
$$\sqrt{x+7}+\sqrt{x-2}=9$$

Перенесём один корень и возведём в квадрат:
$$ x+7+2\sqrt{(x+7)(x-2)}+x-2=81 $$
$$ 2\sqrt{x^2+5x-14}=76-2x $$
$$ \sqrt{x^2+5x-14}=38-x $$
Возведём в квадрат:
$$ x^2+5x-14=(38-x)^2 $$
$$ x^2+5x-14=1444-76x+x^2 $$
$$ 81x=1458 $$
$$ x=18 $$
Проверка:
$$ \sqrt{18+7}+\sqrt{18-2}=5+4=9 $$
Значит, решение верно.