Упр.606 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) vx+vy=5
x-y=10
2) vx-vy=4
x-y=24
3) v(x+1) — v(y-1)=1
x-y=3
4) x+y=2
v(x+2) + v(3-y) = 3

Подробный ответ

$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5,\\ x-y=10 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=10.$$
Тогда
$$5(\sqrt{x}-\sqrt{y})=10,$$
$$\sqrt{x}-\sqrt{y}=2.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{x}+\sqrt{y}=5,\\ \sqrt{x}-\sqrt{y}=2 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2\sqrt{x}=7,\quad \sqrt{x}=3{,}5,$$
$$x=3{,}5^2=12{,}25.$$
Тогда
$$\sqrt{y}=5-3{,}5=1{,}5,\quad y=1{,}5^2=2{,}25.$$
$$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ x-y=24 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x-y=(\sqrt{x}-\sqrt{y})(\sqrt{x}+\sqrt{y})=24.$$
Тогда
$$4(\sqrt{x}+\sqrt{y})=24,$$
$$\sqrt{x}+\sqrt{y}=6.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{x}-\sqrt{y}=4,\\ \sqrt{x}+\sqrt{y}=6 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2\sqrt{x}=10,\quad \sqrt{x}=5,$$
$$x=25.$$
Тогда
$$\sqrt{y}=6-5=1,\quad y=1.$$
$$\begin{cases} \sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}=1,\\ x-y=3 \end{cases}$$
Из второго уравнения:
$$x-y=(x+1)-(y-1)=5.$$
Тогда
$$\bigl(\sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}\bigr)\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\bigr)=5,$$
$$1\cdot\bigl(\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}\bigr)=5,$$
$$\sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=5.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} \sqrt{x+1}-\sqrt{y-1}=1,\\ \sqrt{x+1}+\sqrt{y-1}=5 \end{cases}$$
Складываем уравнения:
$$2\sqrt{x+1}=6,\quad \sqrt{x+1}=3,$$
$$x+1=9,\quad x=8.$$
Тогда
$$y=x-3=5.$$
$$\begin{cases} x+y=2,\\ \sqrt{x+2}+\sqrt{3-y}=3 \end{cases}$$
Из первого уравнения:
$$y=2-x.$$
Подставим во второе:
$$\sqrt{x+2}+\sqrt{3-(2-x)}=3,$$
$$\sqrt{x+2}+\sqrt{x+1}=3.$$
Обозначим
$$a=\sqrt{x+2},\quad b=\sqrt{x+1}.$$
Тогда
$$a+b=3,$$
а также
$$a^2-b^2=(x+2)-(x+1)=1,$$
значит
$$ (a-b)(a+b)=1,$$
$$a-b=\frac{1}{3}.$$
Решаем систему
$$\begin{cases} a+b=3,\\ a-b=\frac{1}{3} \end{cases}$$
Получаем
$$a=\frac{5}{3},\quad b=\frac{4}{3}.$$
Тогда
$$x+2=\frac{25}{9},\quad x=\frac{7}{9},$$
$$y=2-\frac{7}{9}=\frac{11}{9}.$$