Упр.601 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

(f(x) > g(x)) < = > (1/f(x) < 1/g(x))

Так как при всех $$x \in X$$ выполнено $$f(x) > 0$$ и $$g(x) > 0$$, можно умножать и делить неравенства на $$f(x)g(x)$$, не меняя знак неравенства.

Докажем оба направления.

1) Пусть $$f(x) > g(x)$$. Тогда, умножив обе части неравенства на положительное число $$f(x)g(x)$$, получаем:

$$ f(x)g(x)\cdot f(x) > f(x)g(x)\cdot g(x) $$

$$ f^2(x)g(x) > f(x)g^2(x) $$

Делим обе части на положительное число $$f^2(x)g^2(x)$$:

$$ \frac{1}{g(x)} > \frac{1}{f(x)} $$

то есть

$$ \frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}. $$

2) Пусть теперь $$\frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}$$. Умножим обе части на положительное число $$f(x)g(x)$$:

$$ g(x) < f(x). $$

Следовательно,

$$ f(x) > g(x). $$

Итак, доказано, что

$$ f(x) > g(x) \iff \frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)}. $$

Ответ

$$ f(x) > g(x) \iff \frac{1}{f(x)} < \frac{1}{g(x)} $$