Упр.600 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 600. Доказать, что если функции f(x), g(x) и fi(x) определены на множестве X и fi(х) не равно О для всех х пренадлежащих X, то уравнения f(x) = g(x) и f(х)fi(х) = g(х)fi(х) равносильны. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 600 1012

Пусть $$\varphi(x)$$ определена на множестве $$X$$ и для всех $$x \in X$$ выполнено $$\varphi(x) \ne 0$$.

Докажем равносильность уравнений $$f(x)=g(x)$$ и $$f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x)$$.

1) Если $$x_0$$ — корень уравнения $$f(x)=g(x)$$, то

$$f(x_0)=g(x_0).$$

Умножим обе части равенства на $$\varphi(x_0)$$:

$$f(x_0)\varphi(x_0)=g(x_0)\varphi(x_0).$$

Значит, $$x_0$$ — корень уравнения $$f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x).$$

2) Пусть теперь $$x_0$$ — корень уравнения $$f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x).$$ Тогда

$$f(x_0)\varphi(x_0)=g(x_0)\varphi(x_0).$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\varphi(x_0)\bigl(f(x_0)-g(x_0)\bigr)=0.$$

Так как $$\varphi(x_0)\ne 0$$, то

$$f(x_0)-g(x_0)=0,$$

то есть

$$f(x_0)=g(x_0).$$

Следовательно, оба уравнения имеют одни и те же корни, значит, они равносильны.

Ответ

Уравнения $$f(x)=g(x)$$ и $$f(x)\varphi(x)=g(x)\varphi(x)$$ равносильны, так как при $$\varphi(x)\ne 0$$ для всех $$x\in X$$ умножение обеих частей уравнения на $$\varphi(x)$$ не изменяет множество его корней.