Упр.598 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 3/(x-1)- (4x-1)/(x+1) = (x^2+5)/(x^2-1)-5
2) (x+2)/(x-2) — x(x-4)/(x^2-4) = (x-2)/(x+2) — 4(3+x)/(4-x^2)

1. $$\frac{3}{x-1}-\frac{4x-1}{x+1}=\frac{x^2+5}{x^2-1}-5$$

   Так как $$x^2-1=(x-1)(x+1),$$ умножим обе части уравнения на $$x^2-1$$:

   $$3(x+1)-(4x-1)(x-1)=x^2+5-5(x^2-1).$$

   Раскроем скобки:

   $$3x+3-(4x^2-5x+1)=x^2+5-5x^2+5,$$

   $$3x+3-4x^2+5x-1=-4x^2+10,$$

   $$8x+2=-4x^2+10.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$4x^2+8x-8=0,$$

   $$x^2+2x-2=0.$$

   Найдём корни:

   $$D=2^2-4\cdot 1\cdot(-2)=12,$$

   $$x=\frac{-2\pm\sqrt{12}}{2}=-1\pm\sqrt{3}.$$

   Проверим область определения:

   $$x\ne 1,\quad x\ne -1.$$

   Оба найденных значения подходят.

2. $$\frac{x+2}{x-2}-\frac{x(x-4)}{x^2-4}=\frac{x-2}{x+2}-\frac{4(3+x)}{4-x^2}$$

   Заметим, что $$x^2-4=(x-2)(x+2),\quad 4-x^2=-(x^2-4).$$

   Приведём уравнение к общему знаменателю $$x^2-4$$:

   $$\frac{(x+2)^2-x(x-4)}{x^2-4}=\frac{(x-2)^2+4(x+3)}{x^2-4}.$$

   Тогда числители равны:

   $$ (x+2)^2-x(x-4)=(x-2)^2+4(x+3). $$

   Раскроем скобки:

   $$x^2+4x+4-x^2+4x=x^2-4x+4+4x+12,$$

   $$8x+4=x^2+16.$$

   Перенесём всё в одну сторону:

   $$x^2-8x+12=0.$$

   $$D=64-48=16,$$

   $$x=\frac{8\pm 4}{2}.$$

   Получаем:

   $$x_1=2,\quad x_2=6.$$

   Но область определения:

   $$x\ne 2,\quad x\ne -2.$$

   Значит, $$x=2$$ не подходит, остаётся $$x=6.$$

Ответ

1) Корней нет; 2) $$6$$.