Упр.593 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) (x+6)/(2+x^2) < 3 2) (x-2)/(5-x) > 1

1. $$\frac{x+6}{2+x^2}<3$$

   Так как $$2+x^2>0$$ при любом $$x$$, умножим обе части неравенства на положительное число:

   $$x+6<3(2+x^2)$$

   $$x+6<6+3x^2$$

   $$3x^2-x>0$$

   $$x(3x-1)>0$$

   Произведение положительно, когда оба множителя одного знака:

   $$x<0 \quad \text{или} \quad x>\frac13$$

2. $$\frac{x-2}{5-x}>1$$

   Перенесём единицу в левую часть:

   $$\frac{x-2}{5-x}-1>0$$

   $$\frac{x-2-(5-x)}{5-x}>0$$

   $$\frac{2x-7}{5-x}>0$$

   Критические точки: $$x=\frac72$$ и $$x=5$$, причём $$x\neq 5$$.

   Исследуем знак дроби. Она положительна на промежутке

   $$\frac72<x<5$$

Ответ

1) $$(-\infty;0)\cup\left(\frac13;+\infty\right)$$

2) $$\left(\frac72;5\right)$$