Упр.571 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 571. Вес тела изменяется прямо пропорционально его расстоянию от центра Земли, если тело находится внутри Земли, и обратно пропорционально квадрату расстояния до центра Земли, если оно находится над поверхностью Земли. 1) Схематически изобразить график изменения веса тела как функции его расстояния от центра Земли, предполагая, что на поверхности Земли вес тела равен 100 кг. 2) На каком расстоянии от центра Земли (но над её поверхностью) тело будет иметь тот же вес, что и па расстоянии 1600 км от центра Земли? (Принять диаметр Земли равным 12 800 км.) *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 571 1012

Пусть $$R$$ — расстояние от центра Земли, а $$P(R)$$ — вес тела.

Так как радиус Земли равен $$6400$$ км, то:

$$ P(R)= \begin{cases} kR, & R<6400,\\ 100, & R=6400,\\ \dfrac{c}{R^2}, & R>6400. \end{cases} $$

Из условия на поверхности Земли:

$$ P(6400)=100. $$

Тогда для внутренней части:

$$ k\cdot 6400=100,\qquad k=\frac{100}{6400}=\frac{1}{64}. $$

Значит, при $$R<6400$$:

$$ P(R)=\frac{R}{64}. $$

Для внешней части найдём коэффициент по условию непрерывности в точке $$R=6400$$:

$$ \frac{c}{6400^2}=100,\qquad c=100\cdot 6400^2. $$

Следовательно, при $$R>6400$$:

$$ P(R)=100\left(\frac{6400}{R}\right)^2. $$

График состоит из двух частей: при $$R<6400$$ — возрастающая прямая, проходящая через точку $$\left(6400;100\right)$$, а при $$R>6400$$ — убывающая ветвь гиперболы, также проходящая через эту точку.

Найдём расстояние $$R$$, при котором вес такой же, как при $$R=1600$$ км:

$$ P(1600)=\frac{1600}{64}=25. $$

Ищем $$R>6400$$ из уравнения:

$$ 100\left(\frac{6400}{R}\right)^2=25. $$

$$ \left(\frac{6400}{R}\right)^2=\frac{1}{4}, \qquad \frac{6400}{R}=\frac{1}{2}. $$

$$ R=12800. $$

Ответ

1) $$P(R)=\frac{R}{64}$$ при $$R<6400$$, $$P(6400)=100$$, $$P(R)=100\left(\frac{6400}{R}\right)^2$$ при $$R>6400$$; график — возрастающая прямая до $$R=6400$$ и убывающая ветвь гиперболы после этой точки.
2) $$12800$$ км.