Упр.569 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) y = корень 5 степени х и у = х3/5;
2) у = корень 7 степени x и у = х5/7.

1) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt[5]{x}$$ и $$y=x^{3/5}.$$

Приравняем правые части:

$$\sqrt[5]{x}=x^{3/5}$$

$$x^{1/5}-x^{3/5}=0$$

$$x^{1/5}\left(1-x^{2/5}\right)=0$$

Отсюда:

$$x^{1/5}=0 \Rightarrow x=0,$$

или

$$1-x^{2/5}=0 \Rightarrow x^{2/5}=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

Но для обеих функций область определения: $$x\ge 0,$$ поэтому значение $$x=-1$$ не подходит.

Тогда остаются точки:

$$x=0,\quad y=0;$$

$$x=1,\quad y=1.$$

2) Найдём точки пересечения графиков $$y=\sqrt[7]{x}$$ и $$y=x^{5/7}.$$

Приравняем:

$$\sqrt[7]{x}=x^{5/7}$$

$$x^{1/7}-x^{5/7}=0$$

$$x^{1/7}\left(1-x^{4/7}\right)=0$$

Отсюда:

$$x^{1/7}=0 \Rightarrow x=0,$$

или

$$1-x^{4/7}=0 \Rightarrow x^{4/7}=1 \Rightarrow x=\pm 1.$$

С учётом области определения $$x\ge 0$$ значение $$x=-1$$ не подходит.

Тогда получаем точки:

$$x=0,\quad y=0;$$

$$x=1,\quad y=1.$$

Ответ

1) $$ (0;0),\ (1;1) $$

2) $$ (0;0),\ (1;1) $$