Упр.568 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) y=|x|1/3 + 1;
2) y=1-|x|5;
3) y=|x|3 +1;
4) y=-|x|1/5 — 2;
5) y=|x+1|1/3;
6) y=|2x|-2 + 2.

Решение

1. $$y=|x|^{\frac13}+1$$

   Так как $$|x|^{\frac13}\ge 0$$ при любом $$x$$, то

   $$y\ge 1.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty).$$

   На $$(-\infty;0]$$ функция убывает, на $$[0;+\infty)$$ возрастает.

   Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

   Наименьшее значение: $$y_{\min}=1$$ при $$x=0.$$ Наибольшего значения нет.

2. $$y=1-|x|^5$$

   Так как $$|x|^5\ge 0$$, то

   $$y\le 1.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Множество значений: $$E(y)=(-\infty;1].$$

   На $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, на $$[0;+\infty)$$ убывает.

   Функция ограничена сверху, не ограничена снизу.

   Наибольшее значение: $$y_{\max}=1$$ при $$x=0.$$ Наименьшего значения нет.

3. $$y=|x|^3+1$$

   Так как $$|x|^3\ge 0$$, то

   $$y\ge 1.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Множество значений: $$E(y)=[1;+\infty).$$

   На $$(-\infty;0]$$ функция убывает, на $$[0;+\infty)$$ возрастает.

   Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

   Наименьшее значение: $$y_{\min}=1$$ при $$x=0.$$ Наибольшего значения нет.

4. $$y=-|x|^{\frac15}-2$$

   Так как $$|x|^{\frac15}\ge 0$$, то

   $$y\le -2.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Множество значений: $$E(y)=(-\infty;-2].$$

   На $$(-\infty;0]$$ функция возрастает, на $$[0;+\infty)$$ убывает.

   Функция ограничена сверху, не ограничена снизу.

   Наибольшее значение: $$y_{\max}=-2$$ при $$x=0.$$ Наименьшего значения нет.

5. $$y=|x+1|^{\frac13}$$

   Так как $$|x+1|^{\frac13}\ge 0$$, то

   $$y\ge 0.$$

   Область определения: $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

   Множество значений: $$E(y)=[0;+\infty).$$

   На $$(-\infty;-1]$$ функция убывает, на $$[-1;+\infty)$$ возрастает.

   Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

   Наименьшее значение: $$y_{\min}=0$$ при $$x=-1.$$ Наибольшего значения нет.

6. $$y=|2x|^{-2}+2$$

   Преобразуем:

   $$y=\frac{1}{|2x|^2}+2=\frac{1}{4x^2}+2.$$

   Здесь $$x\ne 0$$, значит

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

   Так как $$\frac{1}{4x^2}>0$$, то

   $$y>2.$$

   Следовательно, $$E(y)=(2;+\infty).$$

   На $$(-\infty;0)$$ функция возрастает, на $$ (0;+\infty)$$ убывает.

   Функция ограничена снизу, не ограничена сверху.

   Наименьшего и наибольшего значений нет.

Ответ

1. $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[1;+\infty);$$ убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty);$$ ограничена снизу; $$y_{\min}=1.$$
2. $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;1];$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty);$$ ограничена сверху; $$y_{\max}=1.$$
3. $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[1;+\infty);$$ убывает на $$(-\infty;0]$$, возрастает на $$[0;+\infty);$$ ограничена снизу; $$y_{\min}=1.$$
4. $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-\infty;-2];$$ возрастает на $$(-\infty;0]$$, убывает на $$[0;+\infty);$$ ограничена сверху; $$y_{\max}=-2.$$
5. $$D(y)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=[0;+\infty);$$ убывает на $$(-\infty;-1]$$, возрастает на $$[-1;+\infty);$$ ограничена снизу; $$y_{\min}=0.$$
6. $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(y)=(2;+\infty);$$ возрастает на $$(-\infty;0)$$, убывает на $$ (0;+\infty);$$ ограничена снизу; наибольшего и наименьшего значений нет.