Упр.567 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) y=x1/пи -1;
2) y=(x+1)- корень 2;
3) y=(x-2)-2.

1. $$y=x^{\frac{1}{\pi}}-1.$$

   Так как показатель $$\frac{1}{\pi}$$ положителен, то функция $$y=x^{\frac{1}{\pi}}$$ определена при $$x\ge 0$$ и возрастает. Сдвиг графика вниз на 1 единицу даёт функцию $$y=x^{\frac{1}{\pi}}-1$$.

   Следовательно,

   $$D(x)=[0;+\infty), \qquad E(y)=[-1;+\infty).$$

   Функция возрастает на всей области определения и ограничена снизу: $$y_{\min}=-1$$ при $$x=0$$.

2. $$y=(x+1)^{-\sqrt{2}}=\frac{1}{(x+1)^{\sqrt{2}}}.$$

   Для степени с иррациональным показателем нужно, чтобы основание было положительным:

   $$x+1>0 \quad \Rightarrow \quad x>-1.$$

   Так как при $$x>-1$$ знаменатель положителен, то

   $$y>0.$$

   При увеличении $$x$$ значение $$ (x+1)^{\sqrt{2}} $$ растёт, значит $$y$$ убывает.

   Итак,

   $$D(x)=(-1;+\infty), \qquad E(y)=(0;+\infty).$$

   Функция убывает и ограничена снизу числом $$0$$.

3. $$y=(x-2)^{-2}=\frac{1}{(x-2)^2}.$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль, поэтому

   $$x\ne 2.$$

   Так как $$ (x-2)^2>0 $$ при $$x\ne 2$$, то

   $$y>0.$$

   На промежутке $$(-\infty;2)$$ функция возрастает, а на промежутке $$(2;+\infty)$$ убывает.

   Следовательно,

   $$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty), \qquad E(y)=(0;+\infty).$$

   Функция ограничена снизу числом $$0$$.

Ответ

1) $$D(x)=[0;+\infty), \ E(y)=[-1;+\infty)$$; функция возрастает, ограничена снизу.
2) $$D(x)=(-1;+\infty), \ E(y)=(0;+\infty)$$; функция убывает, ограничена снизу.
3) $$D(x)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty), \ E(y)=(0;+\infty)$$; функция возрастает на $$(-\infty;2)$$ и убывает на $$(2;+\infty)$$, ограничена снизу.