Упр.544 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 544. Доказать, что корень 3 степени (7 + 5 корень 2) + корень 3 степени (7 — 5 корень 2)=2.

Обозначим

$$x=\sqrt[3]{7+5\sqrt2}, \qquad y=\sqrt[3]{7-5\sqrt2}.$$

Тогда

$$x^3+y^3=(7+5\sqrt2)+(7-5\sqrt2)=14,$$

а также

$$xy=\sqrt[3]{(7+5\sqrt2)(7-5\sqrt2)}=\sqrt[3]{49-50}=\sqrt[3]{-1}=-1.$$

Пусть $$s=x+y.$$ Тогда

$$s^3=x^3+y^3+3xy(x+y)=14-3s.$$

Следовательно,

$$s^3+3s-14=0.$$

Проверим значение $$s=2$$:

$$2^3+3\cdot2-14=8+6-14=0.$$

Значит, $$s=2$$ — корень уравнения. Тогда

$$\sqrt[3]{7+5\sqrt2}+\sqrt[3]{7-5\sqrt2}=2.$$

Ответ

$$2$$