Упр.543 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 543 Найти значение выражения:

Подробный ответ

Пусть

$$x=3\left(\frac{a^2+b^2}{2ab}\right)^{0,5}=3\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2ab}}.$$

Тогда

$$x^2=9\cdot \frac{a^2+b^2}{2ab}.$$

Найдём выражения:

$$x^2+9=9\left(\frac{a^2+b^2}{2ab}+1\right)=9\cdot \frac{a^2+2ab+b^2}{2ab}=9\cdot \frac{(a+b)^2}{2ab},$$

$$x^2-9=9\left(\frac{a^2+b^2}{2ab}-1\right)=9\cdot \frac{a^2-2ab+b^2}{2ab}=9\cdot \frac{(a-b)^2}{2ab}.$$

Следовательно,

$$\sqrt{x^2+9}=3\cdot \frac{|a+b|}{\sqrt{2ab}}, \qquad \sqrt{x^2-9}=3\cdot \frac{|a-b|}{\sqrt{2ab}}.$$

Тогда

$$\frac{(\,x^2+9\,)^{-0,5}+(\,x^2-9\,)^{-0,5}}{(\,x^2+9\,)^{-0,5}-(\,x^2-9\,)^{-0,5}}$$

равно

$$\frac{\frac{\sqrt{2ab}}{3|a+b|}+\frac{\sqrt{2ab}}{3|a-b|}}{\frac{\sqrt{2ab}}{3|a+b|}-\frac{\sqrt{2ab}}{3|a-b|}}.$$

Далее рассмотрим случаи.

1) Если $$a\ge b,$$ то $$|a+b|=a+b,\quad |a-b|=a-b.$$ Тогда

$$\frac{\frac{\sqrt{2ab}}{3(a+b)}+\frac{\sqrt{2ab}}{3(a-b)}}{\frac{\sqrt{2ab}}{3(a+b)}-\frac{\sqrt{2ab}}{3(a-b)}}=\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{a-b}}{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{a-b}}$$

$$=\frac{(a-b)+(a+b)}{(a-b)-(a+b)}=\frac{2a}{-2b}=-\frac{a}{b}.$$

2) Если $$a<b,$$ то $$|a+b|=a+b,\quad |a-b|=b-a.$$ Тогда

$$\frac{\frac{\sqrt{2ab}}{3(a+b)}+\frac{\sqrt{2ab}}{3(b-a)}}{\frac{\sqrt{2ab}}{3(a+b)}-\frac{\sqrt{2ab}}{3(b-a)}}=\frac{\frac{1}{a+b}+\frac{1}{b-a}}{\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b-a}}$$

$$=\frac{(b-a)+(a+b)}{(b-a)-(a+b)}=\frac{2b}{-2a}=-\frac{b}{a}.$$