Упр.541 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 541. Доказать справедливость равенства:

1) Возведём обе части равенства в квадрат:

$$ \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 $$
$$ =\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\cdot\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2} $$
$$ =\frac{a+\sqrt{a^2-b}+a-\sqrt{a^2-b}}{2}+2\sqrt{\frac{a^2-(a^2-b)}{4}} $$
$$ =a+2\sqrt{\frac{b}{4}}=a+\sqrt{b}. $$

Так как левая и правая части неотрицательны, то исходное равенство верно:

$$ \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. $$

2) Аналогично:

$$ \left(\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}\right)^2 $$
$$ =\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}-2\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}\cdot\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}+\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2} $$
$$ =a-2\sqrt{\frac{b}{4}}=a-\sqrt{b}. $$

Следовательно,

$$ \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. $$

Ответ

$$ \sqrt{a+\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}+\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}, $$
$$ \sqrt{a-\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}}-\sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}. $$