Упр.540 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 540

1. $$\frac{a-1}{a^{\frac34}+a^{\frac12}}\cdot \frac{a^{\frac12}+a^{\frac14}}{a^{\frac12}+1}\cdot a^{\frac14}-\sqrt a$$

   Представим числитель и знаменатель через общий множитель:
   $$a-1=(\sqrt a-1)(\sqrt a+1),$$
   $$a^{\frac12}+a^{\frac14}=a^{\frac14}\left(a^{\frac14}+1\right).$$

   Тогда
   $$\frac{(\sqrt a-1)(\sqrt a+1)\left(a^{\frac34}+a^{\frac12}\right)}{\left(a^{\frac34}+a^{\frac12}\right)(\sqrt a+1)}-\sqrt a=\sqrt a-1-\sqrt a=-1.$$

2. $$\frac{\sqrt[3]{a}-a^{\frac73}+a^{-\frac13}-(\sqrt[3]{a})^5}{a^{\frac13}-\sqrt[3]{a^4}}+\frac{a^{\frac13}(1-a^2)}{a^{\frac13}(1-a)}+\frac{a^{\frac23}(a^{-1}-a)}{a^{\frac23}(1-a^{-1})}$$

   Упростим каждую дробь:
   $$\frac{a^{\frac13}(1-a^2)}{a^{\frac13}(1-a)}=\frac{1-a^2}{1-a}=1+a,$$
   $$\frac{a^{\frac23}(a^{-1}-a)}{a^{\frac23}(1-a^{-1})}=\frac{a^{-1}-a}{1-a^{-1}}=\frac{\frac{1-a^2}{a}}{\frac{a-1}{a}}=\frac{1-a^2}{a-1}=-(a+1).$$

   Тогда
   $$1+a-(a+1)=0.$$

Ответ

1) $$-1$$; 2) $$0$$.