Упр.539 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 539

Подробный ответ

1) Упростим выражение:

$$ \frac{(a-b)^2}{a^{3/2}-b^{3/2}}+\frac{a^2-b^2}{\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)\left(a+a^{1/2}b^{1/2}+b\right)} $$

Разложим числитель и знаменатель второй дроби:

$$ a^2-b^2=(a-b)(a+b), \qquad a^{3/2}-b^{3/2}=(a-b)\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right). $$

Тогда

$$ \frac{(a-b)^2}{a^{3/2}-b^{3/2}}+\frac{a^2-b^2}{\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)\left(a+a^{1/2}b^{1/2}+b\right)} $$
$$ = \frac{(a-b)\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)+(a+b)\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right)}{a+a^{1/2}b^{1/2}+b}. $$

Раскроем скобки в числителе:

$$ (a-b)\left(a^{1/2}+b^{1/2}\right)+(a+b)\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right) $$
$$ = a^{3/2}+ab^{1/2}-a^{1/2}b-b^{3/2}+a^{3/2}-ab^{1/2}+a^{1/2}b-b^{3/2} $$
$$ =2\left(a^{3/2}-b^{3/2}\right). $$

Следовательно,

$$ \frac{2\left(a^{3/2}-b^{3/2}\right)}{a+a^{1/2}b^{1/2}+b} =2\left(a^{1/2}-b^{1/2}\right). $$

2) Упростим выражение:

$$ \left(\frac{3x^{2/3}+5x^{1/3}}{x+1}+\frac{1}{x^{1/3}+1}\right):\left(4x^{1/3}+4+\frac{1}{x^{1/3}}\right) $$

Приведём первую скобку к общему знаменателю:

$$ \frac{3x^{2/3}+5x^{1/3}}{x+1}+\frac{1}{x^{1/3}+1} = \frac{3x^{2/3}+5x^{1/3}+x^{2/3}-x^{1/3}+1}{(x^{1/3}+1)(x^{2/3}-x^{1/3}+1)}. $$

После сокращения получаем:

$$ \frac{3x^{2/3}+5x^{1/3}}{x+1}+\frac{1}{x^{1/3}+1} = \frac{x^{1/3}\left(4x^{1/3}+4+\frac{1}{x^{1/3}}\right)}{x+1}. $$

Тогда всё выражение равно

$$ \frac{x^{1/3}\left(4x^{1/3}+4+\frac{1}{x^{1/3}}\right)}{x+1}:\left(4x^{1/3}+4+\frac{1}{x^{1/3}}\right) = \frac{x^{1/3}}{x+1}. $$