Упр.538 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

538

1. $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt{y}}{\sqrt[4]{x}-\sqrt[4]{y}}-\frac{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[4]{y}}$$
   Представим корни в виде степеней:
   $$\sqrt{x}=x^{\frac12},\quad \sqrt[4]{x}=x^{\frac14},\quad \sqrt[4]{y}=y^{\frac14},\quad \sqrt[4]{xy}=x^{\frac14}y^{\frac14}.$$
   Тогда
   $$\frac{x^{\frac12}-y^{\frac12}}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}-\frac{x^{\frac12}+x^{\frac14}y^{\frac14}}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}.$$
   Используем разложение:
   $$x^{\frac12}-y^{\frac12}=\left(x^{\frac14}-y^{\frac14}\right)\left(x^{\frac14}+y^{\frac14}\right),$$
   $$x^{\frac12}+x^{\frac14}y^{\frac14}=x^{\frac14}\left(x^{\frac14}+y^{\frac14}\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\left(x^{\frac14}-y^{\frac14}\right)\left(x^{\frac14}+y^{\frac14}\right)}{x^{\frac14}-y^{\frac14}}-\frac{x^{\frac14}\left(x^{\frac14}+y^{\frac14}\right)}{x^{\frac14}+y^{\frac14}}$$
   $$=x^{\frac14}+y^{\frac14}-x^{\frac14}=y^{\frac14}=\sqrt[4]{y}.$$

2. $$\frac{x-y}{\sqrt[3]{x}-\sqrt[3]{y}}-\frac{x+y}{\sqrt[3]{x}+\sqrt[3]{y}}$$
   Пусть
   $$a=\sqrt[3]{x},\quad b=\sqrt[3]{y}.$$
   Тогда
   $$x=a^3,\quad y=b^3,$$
   и выражение принимает вид
   $$\frac{a^3-b^3}{a-b}-\frac{a^3+b^3}{a+b}.$$
   Используем формулы:
   $$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),$$
   $$a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).$$
   Получаем
   $$a^2+ab+b^2-\left(a^2-ab+b^2\right)=2ab=2\sqrt[3]{x}\sqrt[3]{y}=2\sqrt[3]{xy}.$$

3. $$\frac{\sqrt{x}-\sqrt[3]{y^2}}{\sqrt[4]{x}+\sqrt[3]{y}}+\sqrt[3]{y}$$
   Запишем в степенях:
   $$\sqrt{x}=x^{\frac12},\quad \sqrt[3]{y^2}=y^{\frac23},\quad \sqrt[4]{x}=x^{\frac14},\quad \sqrt[3]{y}=y^{\frac13}.$$
   Тогда
   $$\frac{x^{\frac12}-y^{\frac23}}{x^{\frac14}+y^{\frac13}}+y^{\frac13}.$$
   Заметим, что
   $$x^{\frac12}-y^{\frac23}=\left(x^{\frac14}-y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac14}+y^{\frac13}\right).$$
   Поэтому
   $$\frac{\left(x^{\frac14}-y^{\frac13}\right)\left(x^{\frac14}+y^{\frac13}\right)}{x^{\frac14}+y^{\frac13}}+y^{\frac13}=x^{\frac14}-y^{\frac13}+y^{\frac13}=x^{\frac14}=\sqrt[4]{x}.$$

4. $$\frac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}\sqrt{x}}-1$$
   Преобразуем выражение в степенях:
   $$\frac{x^{\frac32}-y^{\frac32}}{x^{\frac12}y^{\frac12}\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)}-1.$$
   Числитель разложим:
   $$x^{\frac32}-y^{\frac32}=\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right).$$
   Тогда
   $$\frac{\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{xy}\left(x^{\frac12}-y^{\frac12}\right)}-1 =\frac{x+\sqrt{xy}+y}{\sqrt{xy}}-1.$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{x+\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}}{\sqrt{xy}}=\frac{x+y}{\sqrt{xy}}.$$

Ответ

1) $$\sqrt[4]{y}$$
2) $$2\sqrt[3]{xy}$$
3) $$\sqrt[4]{x}$$
4) $$\frac{x+y}{\sqrt{xy}}$$