Упр.536 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 536. Освободиться от иррациональности в знаменателе дроби: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 536 1012

Подробный ответ

$$\frac{2}{\sqrt2-\sqrt3}=\frac{2(\sqrt2+\sqrt3)}{(\sqrt2-\sqrt3)(\sqrt2+\sqrt3)}=\frac{2(\sqrt2+\sqrt3)}{2-3}=-2(\sqrt2+\sqrt3).$$
$$\frac{\sqrt5}{5+\sqrt{10}}=\frac{\sqrt5(5-\sqrt{10})}{(5+\sqrt{10})(5-\sqrt{10})}=\frac{\sqrt5(5-\sqrt{10})}{25-10}$$
$$=\frac{5\sqrt5-\sqrt{50}}{15}=\frac{5\sqrt5-5\sqrt2}{15}=\frac{\sqrt5-\sqrt2}{3}.$$
$$\frac{3}{\sqrt[3]{4}}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3\sqrt[3]{2}}{2}.$$
$$\frac{2}{\sqrt[4]{27}}=\frac{2\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{27}\cdot \sqrt[4]{3}}=\frac{2\sqrt[4]{3}}{\sqrt[4]{81}}=\frac{2\sqrt[4]{3}}{3}.$$
$$\frac{3}{\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2}}=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{(\sqrt[4]{5}-\sqrt[4]{2})(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}$$
$$=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})}{\sqrt5-\sqrt2}=\frac{3(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt5+\sqrt2)}{5-2}$$
$$=(\sqrt[4]{5}+\sqrt[4]{2})(\sqrt5+\sqrt2).$$
$$\frac{11}{\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{2}}=\frac{11\left(\sqrt[3]{3^2}-\sqrt[3]{3\cdot 2}+\sqrt[3]{2^2}\right)}{(\sqrt[3]{3})^3+(\sqrt[3]{2})^3}$$
$$=\frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{3+2}=\frac{11(\sqrt[3]{9}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{4})}{5}.$$
$$\frac{1}{1+\sqrt2+\sqrt3}=\frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{(1+\sqrt2)^2-(\sqrt3)^2}=\frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{1+2\sqrt2+2-3}$$
$$=\frac{1+\sqrt2-\sqrt3}{2\sqrt2}=\frac{(1+\sqrt2-\sqrt3)\sqrt2}{4}=\frac{\sqrt2+2-\sqrt6}{4}.$$
$$\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}=\frac{1}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}\cdot \frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}$$
$$=\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}{(\sqrt[3]{2})^3-(\sqrt[3]{3})^3}=\frac{\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{3}}{2-3}$$
$$=\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{2}.$$