Упр.535 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) корень 3 степени (корень (x-1) + 2);
2) корень 4 степени ((1-x)2 — 2);
3) ((1+x)^-1 — 3)1/3;
4) (x+4(xx-1)^-2)-2/5.

Подробный ответ

$$\sqrt[3]{\sqrt{x-1}+2}$$
Для корня третьей степени ограничений нет, но подкоренное выражение должно быть определено:
$$x-1\ge 0$$
$$x\ge 1$$
$$\sqrt[4]{(1-x)^2-2}$$
Для корня четвёртой степени нужно:
$$ (1-x)^2-2\ge 0 $$
$$x^2-2x+1-2\ge 0$$
$$x^2-2x-1\ge 0$$
Найдём корни квадратного трёхчлена:
$$D=(-2)^2-4\cdot 1\cdot(-1)=8$$
$$x=\frac{2\pm\sqrt{8}}{2}=1\pm\sqrt2$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то
$$x\in(-\infty;1-\sqrt2]\cup[1+\sqrt2;+\infty)$$
$$\left((1+x)^{-1}-3\right)^{\frac13}$$
Для выражения в скобках нужно, чтобы знаменатель не обращался в нуль:
$$1+x\ne 0$$
$$x\ne -1$$
Так как корень третьей степени определён при любых значениях подкоренного выражения, получаем:
$$x\in(-1;+\infty)\cup(-\infty;-1)$$
Но из исходного выражения требуется лишь $$x\ne -1$$, а дополнительных ограничений нет.
Следовательно, область определения:
$$x\in(-1;-\tfrac23]$$
$$\left(x+4(x-1)^{-2}\right)^{-\frac25}$$
Показатель степени отрицательный, значит основание должно быть положительным:
$$x+4(x-1)^{-2}>0$$
$$x+\frac{4}{(x-1)^2}>0$$
Умножим на $$ (x-1)^2>0 $$ при $$x\ne 1$$:
$$x(x-1)^2+4>0$$
$$x(x^2-2x+1)+4>0$$
$$x^3-2x^2+x+4>0$$
Разложим на множители:
$$x^3-2x^2+x+4=(x+1)(x^2-3x+4)$$
Для квадратного трёхчлена:
$$D=3^2-4\cdot 1\cdot 4=-7<0$$
Значит $$x^2-3x+4>0$$ при всех $$x$$, поэтому остаётся условие:
$$x+1>0$$
$$x>-1$$
И ещё нужно исключить $$x=1$$.
Следовательно,
$$x\in(-1;1)\cup(1;+\infty)$$