Упр.531 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 531. Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 3,5, а сумма квадратов её членов равна 147/16. Найти сумму кубов членов этой прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 531 1012

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель, $$|q|<1$$.

По формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии имеем:

$$\frac{b_1}{1-q}=3{,}5=\frac{7}{2},$$

откуда

$$b_1=\frac{7}{2}(1-q).$$

Сумма квадратов членов прогрессии равна

$$\frac{b_1^2}{1-q^2}=\frac{147}{16}.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q)$$, то

$$\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)}=\frac{147}{16}.$$

Подставим $$b_1=\frac{7}{2}(1-q)$$:

$$\frac{\left(\frac{7}{2}\right)^2(1-q)^2}{(1-q)(1+q)}=\frac{147}{16},$$

$$\frac{49}{4}\cdot \frac{1-q}{1+q}=\frac{147}{16},$$

$$\frac{1-q}{1+q}=\frac{3}{4}.$$

Решим уравнение:

$$4(1-q)=3(1+q),$$

$$4-4q=3+3q,$$

$$7q=1,$$

$$q=\frac{1}{7}.$$

Тогда

$$b_1=\frac{7}{2}\left(1-\frac{1}{7}\right)=\frac{7}{2}\cdot \frac{6}{7}=3.$$

Теперь найдём сумму кубов членов прогрессии:

$$S_3=\frac{b_1^3}{1-q^3}=\frac{3^3}{1-\left(\frac{1}{7}\right)^3}=\frac{27}{1-\frac{1}{343}}.$$

$$S_3=\frac{27}{\frac{342}{343}}=27\cdot \frac{343}{342}=\frac{1029}{38}.$$

Ответ

$$\frac{1029}{38}$$