Упр.530 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) S=2/3, S5=31/48;
2) S=0,9, S8=8/9.

1. Для бесконечно убывающей геометрической прогрессии

   $$S=\frac{b_1}{1-q}.$$

   Также сумма первых $$n$$ членов:

   $$S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}.$$

2. 1) $$S=\frac{2}{3}, \quad S_5=\frac{31}{48}.$$

   Из формулы суммы бесконечной прогрессии:

   $$\frac{b_1}{1-q}=\frac{2}{3}, \quad b_1=\frac{2(1-q)}{3}.$$

   Подставим в формулу для $$S_5$$:

   $$ \frac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\frac{31}{48} $$

   $$ \frac{2(1-q^5)}{3}=\frac{31}{48} $$

   $$ 1-q^5=\frac{31}{32}, \quad q^5=\frac{1}{32}, \quad q=\frac{1}{2}. $$

   Тогда
   $$ b_1=\frac{2}{3}\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{3}. $$

3. 2) $$S=0{,}9, \quad S_8=\frac{8}{9}.$$

   Так как $$0{,}9=\frac{9}{10},$$ то

   $$\frac{b_1}{1-q}=\frac{9}{10}, \quad b_1=\frac{9(1-q)}{10}.$$

   Подставим в формулу для $$S_8$$:

   $$ \frac{b_1(1-q^8)}{1-q}=\frac{8}{9} $$

   $$ \frac{9(1-q^8)}{10}=\frac{8}{9} $$

   $$ 1-q^8=\frac{80}{81}, \quad q^8=\frac{1}{81}. $$

   Тогда
   $$ q^2=\frac{1}{3}, \quad q=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}. $$

   Найдём $$b_1$$:
   $$ b_1=\frac{9}{10}\left(1-q\right)=\frac{9}{10}\left(1\mp \frac{\sqrt{3}}{3}\right) =\frac{9(\sqrt{3}\mp 1)}{10\sqrt{3}}. $$

Ответ

1) $$b_1=\frac{1}{3}, \quad q=\frac{1}{2}.$$

2) $$q=\pm \frac{\sqrt{3}}{3}, \quad b_1=\frac{9(\sqrt{3}\mp 1)}{10\sqrt{3}}.$$