Упр.529 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 529. Найти сумму, все слагаемые которой, начиная с первого, являются членами одной и той же геометрической прогрессии: *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 529 1012

1. Найдём сумму геометрической прогрессии

   $$\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1};\ 1;\ \frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1};\ldots$$

   Первый член:

   $$b_1=\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}=\frac{(\sqrt2+1)^2}{2-1}=3+2\sqrt2.$$

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{1}{\frac{\sqrt2+1}{\sqrt2-1}}=\frac{\sqrt2-1}{\sqrt2+1}=\frac{(\sqrt2-1)^2}{2-1}=3-2\sqrt2.$$

   Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{3+2\sqrt2}{1-(3-2\sqrt2)}=\frac{3+2\sqrt2}{2(\sqrt2-1)}.$$

2. Найдём сумму геометрической прогрессии

   $$\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1};\ -1;\ \frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1};\ldots$$

   Первый член:

   $$b_1=\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}=\frac{(\sqrt3+1)^2}{3-1}=2+\sqrt3.$$

   Знаменатель прогрессии:

   $$q=\frac{-1}{\frac{\sqrt3+1}{\sqrt3-1}}=-\frac{\sqrt3-1}{\sqrt3+1}=\sqrt3-2.$$

   Тогда сумма бесконечной геометрической прогрессии:

   $$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{2+\sqrt3}{1-(\sqrt3-2)}=\frac{2+\sqrt3}{3-\sqrt3}.$$

Ответ

1) $$\frac{3+2\sqrt2}{2(\sqrt2-1)}$$

2) $$\frac{2+\sqrt3}{3-\sqrt3}$$