Упр.528 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 528. Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии с положительными членами, если сумма первых трёх её членов равна 39, а сумма обратных им величин равна 13/27. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 528 1012

Пусть первый член геометрической прогрессии равен $$b_1$$, а знаменатель — $$q$$. Тогда

$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$

По условию

$$b_1+b_2+b_3=39,$$
$$\frac1{b_1}+\frac1{b_2}+\frac1{b_3}=\frac{13}{27}.$$

Подставим выражения через $$b_1$$ и $$q$$:

$$b_1(1+q+q^2)=39,$$

$$\frac1{b_1}+\frac1{b_1q}+\frac1{b_1q^2}=\frac{1+q+q^2}{b_1q^2}=\frac{13}{27}.$$

Из первого равенства

$$b_1=\frac{39}{1+q+q^2}.$$

Подставим во второе:

$$\frac{1+q+q^2}{\frac{39}{1+q+q^2}\,q^2}=\frac{13}{27},$$
$$\frac{(1+q+q^2)^2}{39q^2}=\frac{13}{27}.$$

Умножим на $$39q^2$$:

$$27(1+q+q^2)^2=507q^2,$$
$$9(1+q+q^2)^2=169q^2.$$

Так как члены прогрессии положительные и она убывающая, то $$0<q<1$$. Тогда

$$\frac{1+q+q^2}{q}=\frac{13}{3},$$
$$1+q+q^2=\frac{13}{3}q,$$
$$3q^2-10q+3=0.$$

$$D=100-36=64,$$
$$q=\frac{10\pm 8}{6}.$$

Получаем

$$q_1=\frac13,\quad q_2=3.$$

Так как прогрессия убывает, берём $$q=\frac13$$.

Тогда

$$b_1=\frac{39}{1+\frac13+\frac19}=\frac{39}{\frac{13}{9}}=27.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии:

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{27}{1-\frac13}=\frac{27}{\frac23}=40{,}5.$$

Ответ

$$40{,}5$$