Упр.526 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

1) b2 = -81, S2 = 162;
2) b2 = 33, S2 = 67;
3) b1 + b2 = 130, b1 — b3 = 120;
4) b2 + b4 = 68, b2- b4 = 60.

Подробный ответ

$$b_2=-81,\quad S_2=162.$$
Для геометрической прогрессии $$b_2=b_1q,$$ значит $$b_1=\frac{b_2}{q}.$$ Тогда
$$S_2=b_1+b_2=\frac{b_2}{q}+b_2=\frac{b_2(1+q)}{q}.$$
Подставим данные:
$$\frac{-81(1+q)}{q}=162.$$
$$-81-81q=162q,$$
$$243q=-81,$$
$$q=-\frac13.$$
Так как $$|q|=\frac13<1,$$ прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_2=33,\quad S_2=67.$$
Аналогично:
$$S_2=\frac{b_2(1+q)}{q}.$$
Тогда
$$\frac{33(1+q)}{q}=67,$$
$$33+33q=67q,$$
$$34q=33,$$
$$q=\frac{33}{34}.$$
Поскольку $$|q|=\frac{33}{34}<1,$$ прогрессия бесконечно убывающая.
$$b_1+b_2=130,\quad b_1-b_3=120.$$
Пусть знаменатель прогрессии равен $$q.$$ Тогда
$$b_2=b_1q,\quad b_3=b_1q^2.$$
Из второго условия:
$$b_1-b_1q^2=120,$$
$$b_1(1-q^2)=120,$$
$$b_1=\frac{120}{1-q^2}.$$
Из первого условия:
$$b_1+b_1q=130,$$
$$\frac{120}{1-q^2}+\frac{120q}{1-q^2}=130.$$
Умножим на $$1-q^2$$:
$$120+120q=130(1-q^2),$$
$$120+120q=130-130q^2,$$
$$13q^2+12q-1=0.$$
$$D=12^2-4\cdot 13\cdot(-1)=196,$$
$$q=\frac{-12\pm 14}{26}.$$
Получаем:
$$q_1=\frac{1}{13},\quad q_2=-1.$$
Так как для бесконечно убывающей прогрессии нужно $$|q|<1,$$ подходит $$q=\frac{1}{13}.$$
$$b_2+b_4=68,\quad b_2-b_4=60.$$
Сложим уравнения:
$$2b_2=128,$$
$$b_2=64.$$
Тогда
$$b_4=68-64=4.$$
Пусть знаменатель прогрессии равен $$q.$$ Тогда
$$b_2=b_1q,\quad b_4=b_1q^3.$$
Следовательно,
$$\frac{b_2}{q}=\frac{b_4}{q^3},$$
$$\frac{64}{q}=\frac{4}{q^3},$$
$$64q^3=4q,$$
$$4q(16q^2-1)=0.$$
Отсюда
$$q=0,\quad q=\frac14,\quad q=-\frac14.$$
Для геометрической прогрессии знаменатель не равен нулю, значит
$$q=\pm\frac14.$$
В обоих случаях $$|q|=\frac14<1,$$ значит прогрессия бесконечно убывающая.