Упр.522 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 522. Упростить:

1) Преобразуем выражение:

$$ \frac{ab^{\frac{3}{2}}-b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-1} = \frac{b^{\frac{1}{2}}\left(ab-1\right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-1} = \frac{b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-1\right)\left(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+1\right)}{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-1} $$

Сокращаем на $$a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-1$$:

$$ b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}+1\right) = a^{\frac{1}{2}}b+b^{\frac{1}{2}} = b\sqrt{a}+\sqrt{b}. $$

Ответ: $$b\sqrt{a}+\sqrt{b}$$.

2) Преобразуем выражение:

$$ \frac{b}{a-b}+\frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} = \frac{b}{\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)} + \frac{b^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}} $$

Приведём к общему знаменателю:

$$ = \frac{b+b^{\frac{1}{2}}\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)}{\left(a^{\frac{1}{2}}-b^{\frac{1}{2}}\right)\left(a^{\frac{1}{2}}+b^{\frac{1}{2}}\right)} = \frac{b+a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}-b}{a-b} = \frac{a^{\frac{1}{2}}b^{\frac{1}{2}}}{a-b} = \frac{\sqrt{ab}}{a-b}. $$

Ответ: $$\frac{\sqrt{ab}}{a-b}$$.