Упр.506 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 506. Найти значение выражения

Пусть

$$x=\frac{2mn}{n^2+1}, \quad m>0, \quad 0<n<1.$$

Найдём сумму и разность чисел $$m$$ и $$x$$:

$$ m+x=m+\frac{2mn}{n^2+1} =\frac{mn^2+m+2mn}{n^2+1} =\frac{m(n+1)^2}{n^2+1}, $$

$$ m-x=m-\frac{2mn}{n^2+1} =\frac{mn^2+m-2mn}{n^2+1} =\frac{m(n-1)^2}{n^2+1}. $$

Тогда

$$ \sqrt{m+x}=\frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}}, \quad \sqrt{m-x}=\frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}}. $$

Подставим в выражение:

$$ \frac{\sqrt{m+x}+\sqrt{m-x}}{\sqrt{m+x}-\sqrt{m-x}} = \frac{\frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}}+\frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}}} {\frac{\sqrt{m}(n+1)}{\sqrt{n^2+1}}-\frac{\sqrt{m}(1-n)}{\sqrt{n^2+1}}}. $$

Сократим на $$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{n^2+1}}$$:

$$ \frac{(n+1)+(1-n)}{(n+1)-(1-n)} = \frac{2}{2n} = \frac{1}{n}. $$

Ответ

$$\frac{1}{n}$$