Упр.505 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Найти значение выражения.

Пусть

$$x=a\left(\frac{m^2+n^2}{2mn}\right)^{\frac12}, \quad n>m>0.$$

Тогда

$$x^2=a^2\frac{m^2+n^2}{2mn}.$$

Найдём суммы и разности:

$$x^2+a^2=a^2\left(\frac{m^2+n^2}{2mn}+1\right) =a^2\frac{m^2+2mn+n^2}{2mn} =\frac{a^2(m+n)^2}{2mn},$$

$$x^2-a^2=a^2\left(\frac{m^2+n^2}{2mn}-1\right) =a^2\frac{m^2-2mn+n^2}{2mn} =\frac{a^2(m-n)^2}{2mn}.$$

Тогда

$$\left(\frac{(x^2+a^2)^{-\frac12}+(x^2-a^2)^{-\frac12}} {(x^2+a^2)^{-\frac12}-(x^2-a^2)^{-\frac12}}\right)^{-2}$$

равно

$$\left( \frac{\frac{\sqrt{2mn}}{a(m+n)}+\frac{\sqrt{2mn}}{a(n-m)}} {\frac{\sqrt{2mn}}{a(m+n)}-\frac{\sqrt{2mn}}{a(n-m)}} \right)^{-2}.$$

Сократим общий множитель $$\frac{\sqrt{2mn}}{a}$$:

$$\left( \frac{\frac1{m+n}+\frac1{n-m}} {\frac1{m+n}-\frac1{n-m}} \right)^{-2} = \left( \frac{(n-m)+(m+n)}{(m+n)(n-m)} \Bigg/ \frac{(n-m)-(m+n)}{(m+n)(n-m)} \right)^{-2}.$$

Получаем

$$\left(\frac{2n}{m^2-n^2}\Bigg/\frac{-2m}{m^2-n^2}\right)^{-2} = \left(-\frac{n}{m}\right)^{-2} = \frac{m^2}{n^2}.$$

Ответ

$$\frac{m^2}{n^2}$$