Упр.504 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 504. Найти значение выражения х3 + ах + b, если *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 504 1012

Подробный ответ

Обозначим

$$ x=\sqrt[3]{-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}+\sqrt[3]{-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}. $$

Пусть

$$ y=\sqrt[3]{-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}, \qquad z=\sqrt[3]{-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}}. $$

Тогда

$$ y^3+z^3=-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}=-b, $$

а также

$$ yz=\sqrt[3]{\left(-\frac{b}{2}+\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}\right)\left(-\frac{b}{2}-\sqrt{\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}}\right)} $$

$$ =\sqrt[3]{\frac{b^2}{4}-\left(\frac{b^2}{4}+\frac{a^3}{27}\right)} =\sqrt[3]{-\frac{a^3}{27}} =-\frac{a}{3}. $$

Так как $$x=y+z,$$ то

$$ x^3=(y+z)^3=y^3+z^3+3yz(y+z). $$