Упр.503 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 503. Упростить выражение:

1. $$\left(x+a^{\frac32}\cdot x^{-\frac12}\right)^{\frac15}\left(1-\sqrt{\frac{a}{x}}+\frac{\sqrt a}{\sqrt x-\sqrt a}\right)^{-\frac15}\cdot \sqrt[10]{(x-a)^3}$$

   Преобразуем выражение в скобках:
   $$x+a^{\frac32}x^{-\frac12}=\frac{x^{\frac32}+a^{\frac32}}{x^{\frac12}}$$
   и
   $$1-\sqrt{\frac{a}{x}}+\frac{\sqrt a}{\sqrt x-\sqrt a} =\frac{x-\sqrt{ax}}{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt a)}.$$

   Тогда
   $$ \left(\frac{x^{\frac32}+a^{\frac32}}{x^{\frac12}}\right)^{\frac15} \left(\frac{x-\sqrt{ax}}{\sqrt x(\sqrt x-\sqrt a)}\right)^{-\frac15} \cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}. $$

   После сокращений получаем:
   $$ (x-a)^{\frac15}\cdot (x-a)^{\frac{3}{10}}=(x-a)^{\frac12}=\sqrt{x-a}. $$

2. $$ \left(x\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}}-(x+1)\sqrt[3]{\frac{1}{(x^2-1)^2}}\right)^{\frac34}\cdot \frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}} $$

   Приведём к общему виду:
   $$ x\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x-1)^2}} =\sqrt[3]{\frac{x^3(x+1)}{(x-1)^2}}, \qquad (x+1)\sqrt[3]{\frac{1}{(x^2-1)^2}} =\sqrt[3]{\frac{x+1}{(x^2-1)^2}}(x+1). $$

   Внутри скобок получается
   $$ \frac{x(x+1)-(x+1)}{\sqrt[3]{(x-1)^2(x+1)^2}} =\frac{(x-1)(x+1)}{\sqrt[3]{(x^2-1)^2}} =\sqrt[3]{x^2-1}. $$

   Тогда всё выражение равно
   $$ \left(\sqrt[3]{x^2-1}\right)^{\frac34}\cdot \frac{1}{\sqrt[7]{x^2-1}} =(x^2-1)^{\frac14}\cdot (x^2-1)^{-\frac17}=1. $$

Ответ

1) $$\sqrt{x-a}$$; 2) $$1$$.