Упр.502 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

x = корень 3 степени (4 корень 5 + 4) — корень 3 степени (4 корень 5 — 4).

Обозначим

$$a=\sqrt[3]{4\sqrt5+4}, \quad b=\sqrt[3]{4\sqrt5-4}.$$

Тогда

$$ab=\sqrt[3]{(4\sqrt5+4)(4\sqrt5-4)}=\sqrt[3]{(4\sqrt5)^2-4^2}=\sqrt[3]{80-16}=\sqrt[3]{64}=4.$$

По формуле разности кубов имеем

$$a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2).$$

Так как $$x=a-b,$$ то

$$a^3-b^3=x(a^2+ab+b^2).$$

Найдём $$a^2+b^2$$:

$$x^2=(a-b)^2=a^2+b^2-2ab=a^2+b^2-8,$$

откуда

$$a^2+b^2=x^2+8.$$

Тогда

$$a^2+ab+b^2=(a^2+b^2)+ab=x^2+8+4=x^2+12.$$

Следовательно,

$$a^3-b^3=x(x^2+12)=x^3+12x.$$

С другой стороны,

$$a^3-b^3=(4\sqrt5+4)-(4\sqrt5-4)=8.$$

Значит,

$$x^3+12x=8.$$

Ответ

$$8$$