Упр.501 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 501.

1. $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{a^{1/3}+b^{1/3}}$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{(a-b)(a^{1/3}+b^{1/3})-(a+b)(a^{1/3}-b^{1/3})}{(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3})}$$
   Числитель:
   $$a^{4/3}+ab^{1/3}-ba^{1/3}-b^{4/3}-a^{4/3}+ab^{1/3}-ba^{1/3}+b^{4/3}=2ab^{1/3}-2ba^{1/3}$$
   Тогда
   $$\frac{2ab^{1/3}-2ba^{1/3}}{a^{2/3}-b^{2/3}}=\frac{2a^{1/3}b^{1/3}(a^{2/3}-b^{2/3})}{a^{2/3}-b^{2/3}}=2\sqrt[3]{ab}.$$

2. $$\frac{a+b}{a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}-\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}$$
   Используем формулы:
   $$a+b=(a^{1/3}+b^{1/3})(a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}),$$
   $$a-b=(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}).$$
   Тогда
   $$\frac{a+b}{a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}=a^{1/3}+b^{1/3},$$
   $$\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}=a^{1/3}-b^{1/3}.$$
   Следовательно,
   $$\left(a^{1/3}+b^{1/3}\right)-\left(a^{1/3}-b^{1/3}\right)=2\sqrt[3]{b}.$$

3. $$\frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{a-b}-\frac{1}{a^{1/3}-b^{1/3}}$$
   Приведём к общему знаменателю:
   $$\frac{a^{2/3}+b^{2/3}-(a^{1/3}+b^{1/3})}{a-b}$$
   Удобнее воспользоваться разложением
   $$a-b=(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}).$$
   Тогда
   $$\frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{a-b}-\frac{1}{a^{1/3}-b^{1/3}}=\frac{a^{2/3}+b^{2/3}-(a^{2/3}+a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3})}{a-b}$$
   $$=\frac{-a^{1/3}b^{1/3}}{a-b}=\frac{\sqrt[3]{ab}}{b-a}.$$

4. $$\frac{a^{1/3}-b^{1/3}}{a+b}+\frac{1}{a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}$$
   Преобразуем вторую дробь:
   $$\frac{1}{a^{2/3}-a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}}=\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a+b}.$$
   Тогда
   $$\frac{a^{1/3}-b^{1/3}}{a+b}+\frac{a^{1/3}+b^{1/3}}{a+b}=\frac{2a^{1/3}}{a+b}=\frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}.$$

Ответ

1) $$2\sqrt[3]{ab}$$
2) $$2\sqrt[3]{b}$$
3) $$\frac{\sqrt[3]{ab}}{b-a}$$
4) $$\frac{2\sqrt[3]{a}}{a+b}$$