Упр.500 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

500.

1. $$\frac{a^{5/3}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\frac{a^{4/3}b^{1/3}}{\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}}-\frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}$$
   Преобразуем второй знаменатель:
   $$\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{a}=-(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})$$
   Тогда
   $$\frac{a^{5/3}}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}+\frac{a^{4/3}b^{1/3}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}.$$

   Приведём первые две дроби к общему знаменателю:
   $$\frac{a^{5/3}(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})+a^{4/3}b^{1/3}(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})}-\frac{2a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}.$$
   Так как
   $$\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}),$$
   получаем
   $$\frac{a^{5/3}\sqrt[3]{a}-a^{5/3}\sqrt[3]{b}+a^{4/3}b^{1/3}\sqrt[3]{a}+a^{4/3}b^{1/3}\sqrt[3]{b}-2a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}.$$

   Упростим степени:
   $$a^{5/3}\sqrt[3]{a}=a^2,\quad a^{5/3}\sqrt[3]{b}=a^{5/3}b^{1/3},\quad a^{4/3}b^{1/3}\sqrt[3]{a}=a^{5/3}b^{1/3},\quad a^{4/3}b^{1/3}\sqrt[3]{b}=a^{4/3}b^{2/3}.$$
   Тогда числитель равен
   $$a^2-a^{5/3}b^{1/3}+a^{5/3}b^{1/3}+a^{4/3}b^{2/3}-2a^2=a^{4/3}b^{2/3}-a^2.$$
   Следовательно,
   $$\frac{a^{4/3}b^{2/3}-a^2}{\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{b^2}}.$$

   Вынесем $a^{4/3}$ и используем разность кубов:
   $$a^{4/3}b^{2/3}-a^2=a^{4/3}\left(b^{2/3}-a^{2/3}\right)=-a^{4/3}\left(a^{2/3}-b^{2/3}\right).$$
   А
   $$a^{2/3}-b^{2/3}=(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{1/3}+b^{1/3}).$$
   После сокращения получаем
   $$-a^{4/3}.$$

2. $$\frac{\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}$$
   Используем формулу
   $$a-b=(a^{1/3}-b^{1/3})(a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}).$$
   Тогда
   $$\frac{a-b}{a^{2/3}+\sqrt[3]{ab}+b^{2/3}}=a^{1/3}-b^{1/3}.$$

   Кроме того,
   $$\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{b^2}=a^{2/3}+b^{2/3}.$$
   Приведём к общему виду:
   $$\frac{a^{2/3}+b^{2/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}-(a^{1/3}-b^{1/3}).$$
   Запишем второе слагаемое с общим знаменателем:
   $$\frac{a^{2/3}+b^{2/3}-(a^{1/3}-b^{1/3})^2}{a^{1/3}-b^{1/3}}.$$
   Раскроем квадрат:
   $$a^{2/3}+b^{2/3}-\left(a^{2/3}-2a^{1/3}b^{1/3}+b^{2/3}\right)=2a^{1/3}b^{1/3}.$$
   Значит,
   $$\frac{2a^{1/3}b^{1/3}}{a^{1/3}-b^{1/3}}=\frac{2\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}.$$

Ответ

1) $$-a^{4/3}$$; 2) $$\frac{2\sqrt[3]{ab}}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}$$.