Упр.496 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 496. Упростить выражение:

1. $$\left(2a^{-0,5}-\frac{1}{3}b^{-\sqrt2}\right)\left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt2}+2a^{-0,5}\right)$$
   это произведение вида $$\left(x-y\right)\left(x+y\right)=x^2-y^2$$, где
   $$x=2a^{-0,5}, \quad y=\frac{1}{3}b^{-\sqrt2}.$$

   Тогда
   $$\left(2a^{-0,5}\right)^2-\left(\frac{1}{3}b^{-\sqrt2}\right)^2=4a^{-1}-\frac{1}{9}b^{-2\sqrt2}.$$

2. $$\left(m^{\frac{1-\sqrt5}{1+\sqrt5}}\right)^{-3}\cdot m^{\frac{3\sqrt5}{2}}$$
   преобразуем, используя правило $$\left(a^p\right)^q=a^{pq}$$:

   $$m^{-\frac{3(1-\sqrt5)}{1+\sqrt5}}\cdot m^{\frac{3\sqrt5}{2}}.$$

   Складываем показатели:
   $$-\frac{3(1-\sqrt5)}{1+\sqrt5}+\frac{3\sqrt5}{2}=\frac{9}{2}.$$

   Значит,
   $$m^{\frac{9}{2}}.$$

3. $$\left(a^{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}}\right)^{\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}}$$
   представим второй показатель как
   $$\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}=\left(\sqrt[3]{2}\right)^2-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+\left(\sqrt[3]{3}\right)^2.$$

   Тогда
   $$\left(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}\right)\left(\left(\sqrt[3]{2}\right)^2-\sqrt[3]{2}\sqrt[3]{3}+\left(\sqrt[3]{3}\right)^2\right)=\left(\sqrt[3]{2}\right)^3+\left(\sqrt[3]{3}\right)^3=2+3=5.$$

   Следовательно,
   $$a^5.$$

4. $$\left(a^{\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1}\right)^{1-\sqrt[3]{3}}$$
   преобразуем по правилу степени степени:

   $$a^{(\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}+1)(1-\sqrt[3]{3})}.$$

   Так как $$\sqrt[3]{9}=\left(\sqrt[3]{3}\right)^2,$$ получаем:
   $$\left(\left(\sqrt[3]{3}\right)^2+\sqrt[3]{3}+1\right)(1-\sqrt[3]{3})=1-\left(\sqrt[3]{3}\right)^3=1-3=-2.$$

   Значит,
   $$a^{-2}.$$

Ответ

1) $$4a^{-1}-\frac{1}{9}b^{-2\sqrt2}$$
2) $$m^{\frac{9}{2}}$$
3) $$a^5$$
4) $$a^{-2}$$