Упр.466 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 466. Упростить выражение:

1. $$\frac{\sqrt{(x+3)^2-12x}}{\sqrt[4]{x^3}-\frac{3}{\sqrt[4]{x}}}= \frac{\sqrt{x^2+6x+9-12x}}{\frac{x-3}{\sqrt[4]{x}}}= \frac{\sqrt{(x-3)^2}}{\frac{x-3}{\sqrt[4]{x}}}.$$

   Тогда
   $$\frac{\sqrt{(x-3)^2}}{\frac{x-3}{\sqrt[4]{x}}}= \frac{|x-3|\sqrt[4]{x}}{x-3}.$$

   Если $$0<x<3,$$ то $$|x-3|=3-x,$$ и выражение равно $$-\sqrt[4]{x}.$$
   Если $$x>3,$$ то $$|x-3|=x-3,$$ и выражение равно $$\sqrt[4]{x}.$$

2. $$\frac{\sqrt{a-\sqrt{4(a-1)}}+\sqrt{a+\sqrt{4(a-1)}}}{\sqrt{a^2-4(a-1)}}.$$

   Так как $$\sqrt{4(a-1)}=2\sqrt{a-1},$$ а
   $$a^2-4(a-1)=a^2-4a+4=(a-2)^2,$$
   то
   $$\frac{\sqrt{a-2\sqrt{a-1}}+\sqrt{a+2\sqrt{a-1}}}{|a-2|}.$$

   Заметим:
   $$a-2\sqrt{a-1}=(\sqrt{a-1}-1)^2,\qquad a+2\sqrt{a-1}=(\sqrt{a-1}+1)^2.$$
   Тогда
   $$\frac{|\sqrt{a-1}-1|+|\sqrt{a-1}+1|}{|a-2|}.$$

   При $$a>2$$ имеем $$|\sqrt{a-1}-1|=\sqrt{a-1}-1,$$ $$|\sqrt{a-1}+1|=\sqrt{a-1}+1,$$ поэтому
   $$\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2}.$$
   При $$1\le a<2$$ получаем $$|\sqrt{a-1}-1|=1-\sqrt{a-1},$$ $$|\sqrt{a-1}+1|=\sqrt{a-1}+1,$$ значит
   $$\frac{2}{2-a}.$$

3. После преобразований:
   $$\left(\frac{a+\sqrt[3]{b}-\sqrt[3]{b}}{\sqrt{a}}\right)^2=a.$$

4. $$\left(\sqrt{x+\frac{2xy}{1+y^2}}+\sqrt{x-\frac{2xy}{1+y^2}}\right)\sqrt{1+\frac{1}{y^2}}.$$

   Приведём подкоренные выражения:
   $$x+\frac{2xy}{1+y^2}=\frac{x(1+y)^2}{1+y^2},\qquad x-\frac{2xy}{1+y^2}=\frac{x(1-y)^2}{1+y^2}.$$

   Тогда
   $$\left(\frac{\sqrt{x}|1+y|}{\sqrt{1+y^2}}+\frac{\sqrt{x}|1-y|}{\sqrt{1+y^2}}\right)\frac{\sqrt{1+y^2}}{|y|}.$$
   После упрощения по случаям получаем:
   $$0,\ \text{если } x=0 \text{ и } y\ne 0;$$
   $$\frac{2\sqrt{x}}{|y|},\ \text{если } x>0 \text{ и } -1\le y<0;$$
   $$\frac{2\sqrt{x}}{y},\ \text{если } x>0 \text{ и } 0\le y\le 1;$$
   $$2\sqrt{x},\ \text{если } x>0 \text{ и } y\le -1 \text{ или } y>1.$$

5. После сокращения и преобразований выражение обращается в нуль:
   $$0.$$

6. После упрощения дроби и сокращения одинаковых множителей получаем:
   $$1.$$

Ответ

1) $$-\sqrt[4]{x},\ 0<x<3;\quad \sqrt[4]{x},\ x>3.$$
2) $$\frac{2\sqrt{a-1}}{a-2},\ a>2;\quad \frac{2}{2-a},\ 1\le a<2.$$
3) $$a.$$
4) $$0,\ \frac{2\sqrt{x}}{|y|},\ \frac{2\sqrt{x}}{y},\ 2\sqrt{x}$$ — по указанным случаям.
5) $$0.$$
6) $$1.$$