Упр.465 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) 1/(1+ корень 3 степени 3 — корень 3 степени 9);
2) 1/(корень 3 степени 2 + корень 3 степени 3 — корень 3 степени 5);
3) 1/(корень x + корень 4 степени xy + корень y);
4) 3/(корень x — корень 4 степени xy — корень y).

1. Положим $$a=\sqrt[3]{3}.$$ Тогда $$\sqrt[3]{9}=a^2,$$ и

   $$ \frac{1}{1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}} =\frac{1}{1+a-a^2}. $$

   Умножим числитель и знаменатель на $$a-1$$:

   $$ \frac{1}{1+a-a^2} =\frac{a-1}{(1+a-a^2)(a-1)} =\frac{a-1}{a^3-1-2a^3+2a^2} =\frac{a-1}{2a^2-1-a^3}. $$

   Так как $$a^3=3,$$ получаем

   $$ \frac{a-1}{2a^2-1-3} =\frac{a-1}{2a^2-4} =\frac{a-1}{2(a^2-2)}. $$

   Домножим на $$a^4+2a^2+4$$:

   $$ \frac{a-1}{2(a^2-2)} =\frac{(a-1)(a^4+2a^2+4)}{2(a^2-2)(a^4+2a^2+4)} =\frac{(a-1)(a^4+2a^2+4)}{2(a^6-8)}. $$

   Так как $$a^6=9,$$ то

   $$ \frac{(a-1)(a^4+2a^2+4)}{2(9-8)} =\frac{(a-1)(a^4+2a^2+4)}{2}. $$

   Следовательно,

   $$ \frac{1}{1+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{9}} =\frac{(\sqrt[3]{3}-1)\left(\sqrt[3]{81}+2\sqrt[3]{9}+4\right)}{2}. $$

2. Пусть $$a=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}, \quad b=\sqrt[3]{5}.$$ Тогда

   $$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}} =\frac{1}{a-b} =\frac{a^2+ab+b^2}{(a-b)(a^2+ab+b^2)} =\frac{a^2+ab+b^2}{a^3-b^3}. $$

   Вычислим:

   $$ a^2=\sqrt[3]{4}+2\sqrt[3]{6}+\sqrt[3]{9}, \quad b^2=\sqrt[3]{25}, \quad ab=\sqrt[3]{10}+\sqrt[3]{15}. $$

   Кроме того,

   $$ a^3=(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3})^3=5+3\sqrt[3]{12}+3\sqrt[3]{18}, \quad b^3=5. $$

   Значит,

   $$ a^3-b^3=3\sqrt[3]{12}+3\sqrt[3]{18}. $$

   После дальнейшего преобразования получаем

   $$ \frac{1}{\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{3}-\sqrt[3]{5}} =\frac{15\sqrt[3]{4}+10\sqrt[3]{9}-6\sqrt[3]{25}+5\sqrt[3]{180}+3\sqrt[3]{300}+2\sqrt[3]{450}}{90}. $$

3. Обозначим $$a=\sqrt{x}, \quad b=\sqrt{y}, \quad c=\sqrt[4]{xy}.$$ Тогда $$c^2=\sqrt{xy}=ab.$$ Имеем

   $$ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}} =\frac{1}{a+c+b}. $$

   Умножим на $$a+b-c$$:

   $$ \frac{1}{a+b+c} =\frac{a+b-c}{(a+b+c)(a+b-c)} =\frac{a+b-c}{(a+b)^2-c^2} =\frac{a+b-c}{x+2\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}}. $$

   Так как $$x+2\sqrt{xy}+y-\sqrt{xy}=x+y+\sqrt{xy},$$ то

   $$ \frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}} =\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt[4]{xy}}{x+y+\sqrt{xy}}. $$

4. Аналогично,

   $$ \frac{3}{\sqrt{x}-\sqrt[4]{xy}+\sqrt{y}} =\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt[4]{xy})}{(\sqrt{x}+\sqrt{y})^2-\sqrt{xy}} =\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt[4]{xy})}{x+y+\sqrt{xy}}. $$

Ответ

1) $$\frac{(\sqrt[3]{3}-1)\left(\sqrt[3]{81}+2\sqrt[3]{9}+4\right)}{2}$$;
2) $$\frac{15\sqrt[3]{4}+10\sqrt[3]{9}-6\sqrt[3]{25}+5\sqrt[3]{180}+3\sqrt[3]{300}+2\sqrt[3]{450}}{90}$$;
3) $$\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}-\sqrt[4]{xy}}{x+y+\sqrt{xy}}$$;
4) $$\frac{3(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt[4]{xy})}{x+y+\sqrt{xy}}$$.