Упр.464 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) корень (43 + 30 корень 2) + корень (43 — 30 корень 2);
2) корень (109 + 12 корень 3) — корень (109 — 12 корень 3).

1. $$\sqrt{43+30\sqrt2}+\sqrt{43-30\sqrt2}$$
   представим подкоренные выражения в виде квадратов:
   $$43+30\sqrt2=25+18+30\sqrt2=(5+3\sqrt2)^2,$$
   $$43-30\sqrt2=25+18-30\sqrt2=(5-3\sqrt2)^2.$$
   Тогда
   $$\sqrt{43+30\sqrt2}+\sqrt{43-30\sqrt2}=(5+3\sqrt2)+(5-3\sqrt2)=10.$$

2. $$\sqrt{109+12\sqrt3}-\sqrt{109-12\sqrt3}$$
   представим подкоренные выражения в виде квадратов:
   $$109+12\sqrt3=108+1+12\sqrt3=(6\sqrt3+1)^2,$$
   $$109-12\sqrt3=108+1-12\sqrt3=(6\sqrt3-1)^2.$$
   Тогда
   $$\sqrt{109+12\sqrt3}-\sqrt{109-12\sqrt3}=(6\sqrt3+1)-(6\sqrt3-1)=2.$$

Ответ

1) $$10$$; 2) $$2$$.