Упр.463 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

1) корень (4 + 2 корень 3) — корень (4 — 2 корень 3) = 2;
2) корень 3 степени (9 + корень 80) + корень 3 степени (9 — корень 80) = 3.

1)

$$\sqrt{4+2\sqrt3}-\sqrt{4-2\sqrt3}$$
$$=\sqrt{(\sqrt3+1)^2}-\sqrt{(\sqrt3-1)^2}$$
$$=(\sqrt3+1)-(\sqrt3-1)=2.$$

Тождество доказано.

2)

Обозначим
$$x=\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}, \qquad y=\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}.$$
Тогда
$$x+y=?$$
Найдём сумму и произведение:
$$x^3+y^3=(9+\sqrt{80})+(9-\sqrt{80})=18,$$
$$xy=\sqrt[3]{(9+\sqrt{80})(9-\sqrt{80})}=\sqrt[3]{81-80}=1.$$

Теперь
$$x^3+y^3=(x+y)^3-3xy(x+y).$$
Пусть $$x+y=t.$$ Тогда
$$t^3-3t=18,$$
$$t^3-3t-18=0.$$
Проверим целый корень: $$t=3$$ подходит, так как
$$3^3-3\cdot 3-18=27-9-18=0.$$
Значит,
$$x+y=3.$$

Следовательно,
$$\sqrt[3]{9+\sqrt{80}}+\sqrt[3]{9-\sqrt{80}}=3.$$

Ответ

1) $$2$$; 2) $$3$$.