Упр.461 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 461. Упростить выражение:

1. $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}-\frac{\sqrt a+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}$$
   Представим числитель первой дроби как разность квадратов:
   $$\sqrt a-\sqrt b=(\sqrt[4]{a})^2-(\sqrt[4]{b})^2=(\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b})(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}).$$
   Тогда
   $$\frac{\sqrt a-\sqrt b}{\sqrt[4]{a}-\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}.$$
   Аналогично
   $$\sqrt a+\sqrt[4]{ab}=(\sqrt[4]{a})^2+\sqrt[4]{a}\sqrt[4]{b}=\sqrt[4]{a}\,(\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}),$$
   значит
   $$\frac{\sqrt a+\sqrt[4]{ab}}{\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}}=\sqrt[4]{a}.$$
   Следовательно,
   $$\sqrt[4]{a}+\sqrt[4]{b}-\sqrt[4]{a}=\sqrt[4]{b}.$$

2. $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}-\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}$$
   Используем формулы:
   $$a-b=(\sqrt[3]{a})^3-(\sqrt[3]{b})^3=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}),$$
   $$a+b=(\sqrt[3]{a})^3+(\sqrt[3]{b})^3=(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}).$$
   Тогда
   $$\frac{a-b}{\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2},$$
   $$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$
   Вычитаем:
   $$\left(\sqrt[3]{a^2}+\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)-\left(\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}\right)=2\sqrt[3]{ab}.$$

3. $$\left(\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}\right):(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2$$
   Преобразуем первую дробь:
   $$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}=\sqrt[3]{a^2}-\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$
   Тогда
   $$\frac{a+b}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}}-\sqrt[3]{ab}=\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}.$$
   Но
   $$\sqrt[3]{a^2}-2\sqrt[3]{ab}+\sqrt[3]{b^2}=(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2.$$
   Значит,
   $$(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2:(\sqrt[3]{a}-\sqrt[3]{b})^2=1.$$

Ответ

1) $$\sqrt[4]{b}$$;
2) $$2\sqrt[3]{ab}$$;
3) $$1$$.