Упр.453 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

При каких значениях $$x$$ имеет смысл выражение:

1. $$\sqrt[3]{2x-3}$$;
2. $$\sqrt[6]{x+3}$$;
3. $$\sqrt[6]{2x^2-x-1}$$;
4. $$\sqrt[4]{\frac{2-3x}{2x-4}}$$?

1. Для корня нечётной степени подкоренное выражение может принимать любые действительные значения, поэтому

   $$\sqrt[3]{2x-3}$$

   имеет смысл при всех $$x \in \mathbb{R}$$.

   Ответ: $$(-\infty; +\infty).$$

2. Для корня чётной степени подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x+3 \ge 0,$$

   откуда

   $$x \ge -3.$$

   Ответ: $$[-3; +\infty).$$

3. Требуется, чтобы

   $$2x^2-x-1 \ge 0.$$

   Разложим на множители:

   $$2x^2-x-1=(2x+1)(x-1).$$

   Тогда

   $$(2x+1)(x-1)\ge 0.$$

   Нули: $$x=-\frac12$$ и $$x=1.$$

   Знак произведения неотрицателен вне промежутка между корнями:

   $$x \in (-\infty; -\tfrac12] \cup [1; +\infty).$$

   Ответ: $$(-\infty; -\tfrac12] \cup [1; +\infty).$$

4. Для корня четной степени нужно, чтобы подкоренное выражение было неотрицательным:

   $$\frac{2-3x}{2x-4}\ge 0.$$

   Найдём критические точки:

   $$2-3x=0 \Rightarrow x=\frac23,$$

   $$2x-4=0 \Rightarrow x=2.$$

   Рассмотрим знаки дроби на промежутках. Получаем

   $$x \in \left[\frac23; 2\right).$$

   Точка $$x=2$$ не входит в область определения, так как знаменатель обращается в ноль.

   Ответ: $$\left[\frac23; 2\right).$$