Упр.434 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой сумма квадратов первых $$n$$ членов равна сумме первых $$2n$$ членов, а сумма кубов $$n$$ членов в 3 раза меньше суммы первых $$3n$$ членов.

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель, $$|q|<1$$.

Тогда

$$S_{2n}^{(2)}=b_1^2\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}, \qquad S_n^{(2)}=b_1^2\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}$$

и по условию сумма квадратов первых $$n$$ членов равна сумме первых $$2n$$ членов, значит

$$b_1^2\frac{1-q^{2n}}{1-q^2}=b_1\frac{1-q^{2n}}{1-q}.$$

Сокращая на $$1-q^{2n}$$, получаем

$$\frac{b_1}{1+q}=1,$$

откуда

$$b_1=1+q.$$

Аналогично для кубов:

$$b_1^3\frac{1-q^{3n}}{1-q^3}=\frac13\,b_1\frac{1-q^{3n}}{1-q}.$$

Сокращая на $$1-q^{3n}$$ и подставляя $$b_1=1+q$$, получаем

$$\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q+q^2)}=\frac{1}{3(1-q)},$$

то есть

$$3(1+q)^2=1+q+q^2.$$

Раскроем скобки:

$$3+6q+3q^2=1+q+q^2,$$

$$2q^2+5q+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=5^2-4\cdot2\cdot2=9,$$

$$q_1=\frac{-5-3}{4}=-2,\qquad q_2=\frac{-5+3}{4}=-\frac12.$$

Так как $$|q|<1$$, подходит только

$$q=-\frac12.$$

Тогда

$$b_1=1+q=1-\frac12=\frac12.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{\frac12}{1-(-\frac12)}=\frac{\frac12}{\frac32}=\frac13.$$

Ответ

$$\frac13$$