Упр.433 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)
Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 433. Бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна 16/3, содержит член, равный 1/6. Отношение суммы всех членов прогрессии, стоящих до него, к сумме всех членов, стоящих после него, равно 30. Определить порядковый номер этого члена прогрессии. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 433 1012
Обозначим сумму всех членов прогрессии через $$S=\frac{16}{3}$$, а данный член — через $$b_n=\frac{1}{6}$$. Тогда сумма членов, стоящих до него, равна $$b_1+b_2+\dots+b_{n-1}$$, а сумма членов после него — $$b_{n+1}+b_{n+2}+\dots$$.
По условию
$$\frac{b_1+b_2+\dots+b_{n-1}}{b_{n+1}+b_{n+2}+\dots}=30.$$
Пусть знаменатель прогрессии равен $$q$$, $$|q|<1$$. Тогда
$$b_{n+1}+b_{n+2}+\dots=\frac{b_{n+1}}{1-q}.$$
Кроме того,
$$S=(b_1+\dots+b_{n-1})+b_n+(b_{n+1}+b_{n+2}+\dots).$$
Подставим отношение сумм:
$$S=30\cdot \frac{b_{n+1}}{1-q}+\frac{1}{6}+\frac{b_{n+1}}{1-q}.$$
Тогда
$$\frac{16}{3}=\frac{31b_{n+1}}{1-q}+\frac{1}{6}.$$
Умножим на $$6$$:
$$32=186\cdot \frac{b_{n+1}}{1-q}+1,$$
откуда
$$\frac{b_{n+1}}{1-q}=\frac{31}{186}=\frac{1}{6}.$$
Значит,
$$b_{n+1}=\frac{1}{6}(1-q).$$
С другой стороны, $$b_{n+1}=b_nq=\frac{1}{6}q$$, поэтому
$$\frac{1}{6}q=\frac{1}{6}(1-q),$$
$$q=1-q,$$
$$2q=1,$$
$$q=\frac{1}{2}.$$
Теперь найдём первый член прогрессии из формулы суммы:
$$S=\frac{b_1}{1-q}=\frac{16}{3}.$$
Подставим $$q=\frac{1}{2}$$:
$$\frac{b_1}{1-\frac{1}{2}}=\frac{16}{3},$$
$$2b_1=\frac{16}{3},$$
$$b_1=\frac{8}{3}.$$
Ищем номер члена $$b_n=\frac{1}{6}$$:
$$b_n=b_1q^{n-1},$$
$$\frac{8}{3}\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{6},$$
$$\left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}=\frac{1}{16}=\left(\frac{1}{2}\right)^4,$$
$$n-1=4,$$
$$n=5.$$
Ответ
5
