Упр.432 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 432 Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, у которой отношение суммы кубов всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3, а отношение суммы всех членов к сумме квадратов всех членов равно 3/7. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 432 1012

Обозначим первый член прогрессии через $$b_1$$, а знаменатель — через $$q$$, где $$|q|<1$$.

Тогда суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии равны:

$$\frac{b_1^3}{1-q^3}=3\cdot \frac{b_1^2}{1-q^2},$$

$$\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{7}\cdot \frac{b_1^2}{1-q^2}.$$

Из второго равенства получаем:

$$\frac{b_1}{1-q}=\frac{3}{7}\cdot \frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)}$$

$$7b_1(1+q)=3b_1^2.$$

Так как $$b_1\neq 0$$, то

$$b_1=\frac{7}{3}(1+q).$$

Из первого равенства:

$$\frac{b_1^3}{1-q^3}=3\cdot \frac{b_1^2}{1-q^2}$$

$$b_1(1-q^2)=3(1-q^3)$$

$$b_1(1-q)(1+q)=3(1-q)(1+q+q^2).$$

Так как $$q\neq 1$$, сокращаем на $$1-q$$:

$$b_1(1+q)=3(1+q+q^2).$$

Подставим $$b_1=\frac{7}{3}(1+q)$$:

$$\frac{7}{3}(1+q)^2=3(1+q+q^2).$$

Умножим на $$3$$:

$$7(1+2q+q^2)=9(1+q+q^2)$$

$$7+14q+7q^2=9+9q+9q^2$$

$$2q^2-5q+2=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=25-16=9,$$

$$q=\frac{5\pm 3}{4}.$$

Получаем:

$$q_1=2,\quad q_2=\frac12.$$

Так как прогрессия бесконечно убывающая, то $$|q|<1$$, значит $$q=\frac12$$.

Тогда

$$b_1=\frac{7}{3}\left(1+\frac12\right)=\frac{7}{3}\cdot \frac32=\frac72.$$

Ответ

$$b_1=\frac72,\quad q=\frac12.$$