Упр.431 ГДЗ Колягин Ткачёва 10 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 10 класс, Просвещение: 431. Найти первый член и знаменатель бесконечно убывающей геометрической прогрессии, если второй её член равен 6, а сумма этой прогрессии в 8 раз меньше суммы квадратов её членов. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 10 kolyagin10 431 1012

Пусть $$b_1$$ — первый член геометрической прогрессии, $$q$$ — её знаменатель. Тогда

$$b_2=b_1q=6,\qquad |q|<1.$$

Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна

$$S=\frac{b_1}{1-q},$$

а сумма квадратов её членов — это тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия со знаменателем $$q^2$$:

$$b_1^2+b_2^2+\dots=\frac{b_1^2}{1-q^2}.$$

По условию

$$S=\frac18\left(b_1^2+b_2^2+\dots\right),$$

значит

$$\frac{b_1}{1-q}=\frac18\cdot\frac{b_1^2}{1-q^2}.$$

Так как $$1-q^2=(1-q)(1+q)$$, получаем

$$\frac{b_1}{1-q}=\frac18\cdot\frac{b_1^2}{(1-q)(1+q)}.$$

Умножим на $$8(1-q)(1+q)$$:

$$8b_1(1+q)=b_1^2.$$

Подставим $$b_1=\frac{6}{q}$$:

$$8\cdot\frac{6}{q}(1+q)=\left(\frac{6}{q}\right)^2.$$

Умножим на $$q^2$$:

$$48q(1+q)=36.$$

$$4q^2+4q-3=0.$$

Решаем квадратное уравнение:

$$D=4^2-4\cdot4\cdot(-3)=16+48=64,$$

$$q=\frac{-4\pm8}{8}.$$

Получаем

$$q_1=\frac12,\qquad q_2=-\frac32.$$

Так как $$|q|<1$$, подходит только

$$q=\frac12.$$

Тогда

$$b_1=\frac{6}{q}=\frac{6}{1/2}=12.$$

Ответ

$$b_1=12,\quad q=\frac12.$$